Teilaufgabe b

Die \(x_{1}x_{2}\)-Ebene beschreibt modellhaft eine horizontale Fläche, auf der eine Achterbahn errichtet wurde. Ein gerader Abschnitt der Bahn beginnt im Modell im Punkt \(A\) und verläuft entlang der Geraden \(g\). Der Vektor \(\displaystyle \begin{pmatrix} -1 \\ \sqrt{2} \\ 1 \end{pmatrix}\) beschreibt die Fahrtrichtung auf diesem Abschnitt.

Berechnen Sie im Modell die Größe des Winkels, unter dem dieser Abschnitt der Achterbahn gegenüber der Horizontalen ansteigt.

(3 BE)

Lösung zu Teilaufgabe b

 

Schnittwinkel zwischen Gerade und Ebene

 

\[g \colon \overrightarrow{X} = \overrightarrow{A} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ \sqrt{2} \\ 1 \end{pmatrix}\,; \enspace \lambda \in \mathbb R\]

\[\overrightarrow{v} = \begin{pmatrix} -1 \\ \sqrt{2} \\ 1 \end{pmatrix}\]

 

Schnittwinkel α zwischen der Geraden g und der x₁x₂-Ebene

Schnittwinkel \(\alpha\) zwischen der Geraden \(g\) und der \(x_{1}x_{2}\)-Ebene.

Normalenvektor der \(x_{1}x_{2}\)-Ebene:

\[x_{1}x_{2}\text{-Ebene}\colon x_{3} = 0 \quad \Longrightarrow \quad \overrightarrow{n}_{x_{1}x_{2}} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\]

 

Richtungsvektor der Geraden \(g\):

\[\overrightarrow{v} = \begin{pmatrix} -1 \\ \sqrt{2} \\ 1 \end{pmatrix}\]

 

Schnittwinkel \(\alpha\) berechnen:

 

\[\begin{align*} \sin{\alpha} &= \frac{\vert \overrightarrow{v} \circ \overrightarrow{n}_{x_{1}x_{2}} \vert}{\vert \overrightarrow{v} \vert \cdot \vert \overrightarrow{n}_{x_{1}x_{2}} \vert} \\[0.8em] &= \frac{\left| \begin{pmatrix} -1 \\ \sqrt{2} \\ 1 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \right|}{\left| \begin{pmatrix} -1 \\ \sqrt{2} \\ 1 \end{pmatrix} \right| \cdot \left| \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \right|} \\[0.8em] &= \frac{\vert (-1) \cdot 0 + \sqrt{2} \cdot 0 + 1 \cdot 1 \vert}{\sqrt{(-1)^{2} + (\sqrt{2})^{2} + 1^{2}} \cdot \sqrt{0^{2} + 0^{2} + 1^{2}}} \\[0.8em] &= \frac{1}{\sqrt{4} \cdot \sqrt{1}} \\[0.8em] &= \frac{1}{2}  \\[3.2em] \alpha &= 30^{\circ} \end{align*}\]

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