Teilaufgabe a

Abbildung 1 zu Teilaufgabe a Geometrie 2 Prüfungsteil B Mathematik Abitur Bayern 2015Abb. 1
Abbildung 2 zu Teilaufgabe a Geometrie 2 Prüfungsteil B Mathematik Abitur Bayern 2015Abb. 2

Abbildung 1 zeigt eine Sonnenuhr mit einer gegenüber der Horizontalen geneigten, rechteckigen Grundplatte, auf der sich ein kreisförmiges Zifferblatt befindet. Auf der Grundplatte ist der Polstab befestigt, dessen Schatten bei Sonneneinstrahlung die Uhrzeit auf dem Zifferblatt anzeigt.

Eine Sonnenuhr dieser Bauart wird in einem kartesischen Koordinatensystem modellhaft dargestellt (vgl. Abbildung 2). Dabei beschreibt das Rechteck \(ABCD\) mit \(A\,(5|-4|0)\) und \(B\,(5|4|0)\) die Grundplatte der Sonnenuhr. Der Befestigungspunkt des Polstabs auf der Grundplatte wird im Modell durch den Diagonalenschnittpunkt \(M\,(2{,}5|0|2)\) des Rechtecks \(ABCD\) dargestellt. Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht 10 cm in der Realität. Die Horizontale wird im Modell durch die \(x_{1}x_{2}\)-Ebene beschrieben.

Bestimmen Sie die Koordinaten des Punkts \(C\). Ermitteln Sie eine Gleichung der Ebene \(E\), in der das Rechteck \(ABCD\) liegt, in Normalenform.

(mögliches Teilergebnis: \(E\colon 4x_{1} + 5x_{3} - 20 = 0\))

(5 BE)

Lösung zu Teilaufgabe a

 

Vektoraddition, Ebenengleichung in Normalenform

 

\[A\,(5|-4|0)\,, \enspace B\,(5|4|0)\,, \enspace M\,(2{,}5|0|2)\]

 

Koordinaten des Punktes \(C\)

 

Ortsvektor von A, Ortsvektor von C, Vektor von A nach M

Vektoraddition zur Berechnung der Koordinaten des Punktes \(C\)

 

\[A\,(5|-4|0)\,, \enspace M\,(2{,}5|0|2)\]

 

\[\begin{align*} \overrightarrow{C} &= \overrightarrow{A} + 2 \cdot \overrightarrow{AM} \\[0.8em] &= \overrightarrow{A} + 2 \cdot (\overrightarrow{M} - \overrightarrow{A}) \\[0.8em] &= \begin{pmatrix} 5 \\ -4 \\ 0 \end{pmatrix} + 2 \cdot \left[ \begin{pmatrix}  2{,}5 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 5 \\ -4 \\ 0 \end{pmatrix} \right] \\[0.8em] &= \begin{pmatrix} 5 \\ -4 \\ 0 \end{pmatrix} + 2 \cdot \begin{pmatrix} -2{,}5 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix} \\[0.8em] &= \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 4 \end{pmatrix} \end{align*}\]

 

\[\Longrightarrow \quad C\,(0|4|4)\]

 

Gleichung der Ebene \(E\) in Normalenform

 

Rechteck ABCD, Vektor von A nach B, Vektor von A nach C, Normalenvektor zur Ebene E

Das Rechteck \(ABCD\) liegt in der Ebene \(E\). Die Ebene \(E\) lässt sich z.B. durch die beiden linear unabhängigen Vektoren \(\overrightarrow{AB}\) und \(\overrightarrow{AC}\) sowie dem Aufpunkt \(A\) beschreiben.

Mithilfe des Vektorprodukts aus dem Vektor \(\overrightarrow{AB}\) und dem Vektor \(\overrightarrow{AC}\) bestimmt man den Normalenvektor \(\overrightarrow{n}_{E}\) für die Gleichung der Ebene \(E\) in Normalenform.

Normalenvektor \(\overrightarrow{n}_{E}\) der Ebene \(E\) bestimmen:

\[A\,(5|-4|0)\,, \enspace B\,(5|4|0)\,, \enspace C\,(0|4|4)\]

 

\[\begin{align*} \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} &= (\overrightarrow{B} - \overrightarrow{A}) \times (\overrightarrow{C} - \overrightarrow{A}) \\[0.8em] &= \left[ \begin{pmatrix} 5 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 5 \\ -4 \\ 0 \end{pmatrix} \right] \times \left[ \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 4 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 5 \\ -4 \\ 0 \end{pmatrix} \right] \\[0.8em] &= \begin{pmatrix} 0 \\ 8 \\ 0 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} -5 \\ 8 \\ 4 \end{pmatrix} \\[0.8em] &= \begin{pmatrix} 8 & \cdot & 4 & - & 0 & \cdot & 8 \\ 0 & \cdot & (-5) & - & 0 & \cdot & 4 \\ 0 & \cdot & 8 & - & 8 & \cdot & (-5) \end{pmatrix} \\[0.8em] &= \begin{pmatrix} 32 \\ 0 \\ 40 \end{pmatrix} \\[0.8em] &= 8 \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 5 \end{pmatrix} \end{align*}\]

 

\[\Longrightarrow \quad \overrightarrow{n}_{E} = \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 5 \end{pmatrix}\]

 

Gleichung der Ebene \(E\) in Normalenform aufstellen:

Der Ansatz für die Gleichung der Ebene \(E\) kann mit der Normalenform in Vektordarstellung oder in Koordinatendarstellung erfolgen.

Ansatz mit der Normalenform in Vektordarstellung:

 

\[A\,(5|-4|0)\,, \enspace \overrightarrow{n}_{E} = \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 5 \end{pmatrix}\]

 

\[E\colon \overrightarrow{n}_{E} \circ \left( \overrightarrow{X} - \overrightarrow{A} \right) = 0\]

 

\[\begin{align*} \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 5 \end{pmatrix} \circ \left[ \overrightarrow{X} - \begin{pmatrix} 5 \\ -4 \\ 0 \end{pmatrix} \right] &= 0 \\[0.8em] 4 \cdot (x_{1} - 5) + 0 \cdot (x_{2} + 4) + 5 \cdot (x_{3} - 0) &= 0 \\[0.8em] 4x_{1}  + 5x_{3} - 20 &= 0 \end{align*}\]

 

\[E\colon 4x_{1}  + 5x_{3} - 20 = 0\]

 

Ansatz mit der Normalenorm in Koordiantendarstellung:

 

\[A\,(5|-4|0)\,, \enspace \overrightarrow{n}_{E} = \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 5 \end{pmatrix}\]

 

\[\begin{align*} E\colon n_{1}x_{1} + n_{2}x_{2} + n_{3}x_{3} + n_{0} &= 0 \\[0.8em] 4x_{1} + 5x_{3} + n_{0} &= 0 \end{align*}\]

 

\[\begin{align*} A \in E\colon 4 \cdot 5 + 5 \cdot 0 + n_{0} &= 0 \\[0.8em] 20 + n_{0} &= 0 & &| - 20 \\[0.8em] n_{0} &= -20 \end{align*}\]

 

\[E\colon 4x_{1}  + 5x_{3} - 20 = 0\]

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