Teilaufgabe c

Der Polstab wird im Modell durch die Strecke \([MS]\) mit \(S\,(4{,}5|0|4{,}5)\) dargestellt. Zeigen Sie, dass der Polstab senkrecht auf der Grundplatte steht, und berechnen Sie die Länge des Polstabs auf Zentimeter genau.

(3 BE)

Lösung zu Teilaufgabe c

 

Parallelität zweier Vektoren

 

\[S\,(4{,}5|0|4{,}5)\]

 

Nachweis, dass der Polstab senkrecht auf der Grundplatte steht

 

Ebene E, Rechteck ABCD, Normalenvektor der Ebene E, Vektor von M nach S

Normalenvektor \(\overrightarrow{n}_{E}\) der Ebene \(E\) und Vektor \(\overrightarrow{MS}\)

 

Der Polstab steht senkrecht auf der Grundplatte (Rechteck \(ABCD\)), wenn die Strecke \([MS]\) senkrecht auf der Ebene \(E\) steht. Dies ist dann der Fall, wenn der Vektor \(\overrightarrow{MS}\) parallel zum Normalenvektor \(\overrightarrow{n}_{E}\) (siehe Teilaufgabe a) der Ebene \(E\) ist. Um die Parallelität der beiden Vektoren nachzuweisen, zeigt man, dass die Vektoren linear abhängig sind, dass also gilt:

\[\overrightarrow{MS} = k \cdot \overrightarrow{n}_{E}\,; \enspace k \in \mathbb R\]

 

\[S\,(4{,}5|0|4{,}5)\,, \enspace M\,(2{,}5|0|2)\,, \enspace \overrightarrow{n}_{E} = \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 5 \end{pmatrix}\]

 

\[\overrightarrow{MS} = \overrightarrow{S} - \overrightarrow{M} = \begin{pmatrix} 4{,}5 \\ 0 \\ 4{,}5 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2{,}5 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 2{,}5 \end{pmatrix}\]

 

\[\Longrightarrow \quad \overrightarrow{MS} = \frac{1}{2} \cdot \overrightarrow{n}_{E} \quad \Longrightarrow \quad \overrightarrow{MS} \parallel \overrightarrow{n}_{E}\]

 

\(\Longrightarrow \quad \overrightarrow{MS} \perp E\) bzw. \([MS] \perp E\)

 

Der Polstab steht senkrecht auf der Grundplatte.

 

Länge des Polstabs

\[\begin{align*} \overline{MS} &= \vert \overrightarrow{MS} \vert \\[0.8em] &= \left| \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 2{,}5 \end{pmatrix} \right| \\[0.8em] &= \sqrt{2^{2} + 0^{2} + 2{,}5^{2}} \\[0.8em] &= \frac{\sqrt{41}}{2} \\[0.8em] &\approx 3{,}2 \end{align*}\]

 

\(1\;\sf{LE}\) (Längeneinheit) \(\mathrel{\hat=} 10\;\sf{cm}\) (siehe Angabe)

 

\[3{,}2\;\sf{LE} \mathrel{\hat=} (10 \cdot 3{,}2)\; \sf{cm} = 32 \;\sf{cm}\]

 

Der Polstab ist ca. 32 cm lang.

Weitere Lösungen dieser Aufgabengruppe: « Teilaufgabe b Teilaufgabe d »