Teilaufgabe 1c

Die Geschäftsführung will im Mittel für einen Einkauf einen Rabatt von 16 % gewähren. Berechnen Sie für diese Vorgabe den Wert der Wahrscheinlichkeit \(p\).

(3 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 1c

 

Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses bei vorgegebenem Erwartungswert

 

Zufallsgröße \(X\): „Höhe des Rabatts in Prozent" (siehe Angabe Aufgabe 1)

\(E(X) = 9p^{2} +12p + 4\) (siehe Teilaufgabe 1b)

 

Die Aussage „Die Geschäftsleitung will im Mittel für einen Einkauf einen Rabatt von 16 % gewähren." bedeutet, dass der Erwartungswert \(E(X)\) der Zufallsgröße \(X\) den Wert 16 annehmen soll.

 

\[\begin{align*} E(X) &= 16 \\[0.8em] 9p^{2} + 12p + 4 &= 16 & &| - 16 \\[0.8em] 9p^{2} + 12p - 12 &= 0 & &| : 3 \\[0.8em] 3p^{2} + 4p - 4 &= 0 \end{align*}\]

\[\begin{align*}p_{1,2} &= \frac{-4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (-4)}}{2 \cdot 3} \\[0.8em] &= \frac{-4 \pm 8}{6} \end{align*}\]

\[\Longrightarrow \quad p_{1} = \frac{2}{3}\,; \enspace p_{2} = -2\]

 

\[p \in [0;1] \quad \Longrightarrow \quad p = \frac{2}{3}\]

 

Probe (Ergänzung):

 

\(X = x_{i}\) \(4\) \(10\) \(25\)
\(P(X = x_{i})\) \((1 - p)^{2}\) \(2p - 2p^{2}\) \(p^{2}\)

Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße \(X\) (siehe Teilaufgabe 1b)

 

Die Summe der Wahrscheinlichkeiten \(P(X = x_{i})\) ist gleich eins.

 

\[\begin{align*} \sum P(X = x_{i}) &= 1 \\[0.8em] (1 - p)^{2} + 2p - 2p^{2} + p^{2} &= 1 \\[0.8em] \left( 1 - \frac{2}{3} \right)^{2} + 2 \cdot \frac{2}{3} - 2 \cdot \left( \frac{2}{3} \right)^{2} + \left( \frac{2}{3} \right)^{2} &= 1 \\[0.8em] \left( \frac{1}{3} \right)^{2} + \frac{4}{3} - 2 \cdot \frac{4}{9} + \frac{4}{9} &= 1 \\[0.8em] \frac{1}{9} + \frac{12}{9} - \frac{8}{9} + \frac{4}{9} &= 1 \\[0.8em] \frac{9}{9} &= 1 & & (\text{w}) \end{align*}\]

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