Teilaufgabe 1d
Lösung zu Teilaufgabe 1d
Binomialverteilung: Länge einer Bernoullikette berechnen
Zufallsgröße \(X\): „Höhe des Rabatts in Prozent" (siehe Angabe Aufgabe 1)
\(\displaystyle P(X = 4) = \frac{1}{9}\) (siehe auch Teilaufgabe 1a,b)
Es sei \(Y\) die Zufallsgröße, welche die Anzahl der Kunden beschreibt, die den niedrigsten Rabatt (4 %) erhalten. Es wird nur auf das Ereignis „niedrigster Rabatt" geachtet. Die Trefferwahrscheinlichkeit für das Ereignis „niedrigster Rabatt" ist mit \(\displaystyle p = \frac{1}{9}\) konstant.
Die Zufallsgröße \(Y\) ist nach \(B\Big(n;\frac{1}{9}\Big)\) binomialverteilt.
Gesucht ist die Länge der Bernoullikette \(n\).
Die Aussage „...damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als 99 % mindestens einer der Kunden den niedrigsten Rabatt erhält." liefert den Ansatz:
\[P_{\frac{1}{9}}^{n}(Y \geq 1) > 0{,}99\]
Durch die Betrachtung des Gegenereignisses vereinfacht sich der Ansatz und mithilfe der Formel von Bernoulli kann die Ungleichung nach der gesuchten Größe \(n\) aufgelöst werden.
\[\begin{align*} P_{\frac{1}{9}}^{n}(Y \geq 1) &> 0{,}99 & &| \; \text{Gegenereignis formulieren} \\[0.8em] 1 - P^{n}_{\frac{1}{9}}(Y = 0) &> 0{,}99 & &| -1 \\[0.8em] - P^{n}_{\frac{1}{9}}(Y = 0) &> -0{,}01 & &| \cdot (-1) \quad \text{Relationszeichen dreht!} \\[0.8em] P^{n}_{\frac{1}{9}}(Y = 0) &< 0{,}01 & &| \; \text{Formel von Bernoulli anwenden} \\[0.8em] \underbrace{\binom{n}{0}}_{1} \cdot \underbrace{\left( \frac{1}{9} \right)^{0}}_{1} \cdot \left( 1 - \frac{1}{9} \right)^{n - 0} &< 0{,}01 \\[0.8em] \left( \frac{8}{9} \right)^{n} &< 0{,}01 & &| \; \text{Logarithmieren, z.B.} \; \ln \\[0.8em] \ln{\left[ \left( \frac{8}{9} \right)^{n} \right]} &< \ln{0{,}01} & &| \; \log_{a}{\big(b^{n}\big)} = n \cdot \log_{a}{b} \\[0.8em] n \cdot \ln{\left( \frac{8}{9} \right)} &< \ln{0{,}01} & &| : \ln{\left( \frac{8}{9} \right)} \quad \text{Relationszeichen dreht!} \\[0.8em] n &> \frac{\ln{0{,}01}}{\ln{\left( \frac{8}{9} \right)}} \\[0.8em] n &\gtrapprox 39{,}10 \end{align*}\]
\[\Longrightarrow \quad n = 40\]
Es müssen mindestens 40 Kunden am Glücksrad drehen, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als 99 % mindestens einer der Kunden den niedrigsten Rabatt erhält.
