Teilaufgabe 2a
Lösung zu Teilaufgabe 2a
Signifikanztest
Zufallsgröße \(X\): „Anzahl der Kunden, die bereit sind, die App zu nutzen."
Vorbemerkung: Ein Signifikanztest für eine unbekannte Wahrscheinlichkeit ist ein Hypothesentest, welcher der Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art eine Obergrenze, das Signifikanzniveau, vorgibt. Im vorliegenden Fall ist unbekannt, mit welcher Wahrscheinlichkeit wie viele Kunden bereit sind, die App zu nutzen. Um die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art: „Nullhypothese wird irrtümlich abgelehnt" formulieren zu können, muss eine Nullhypothese festgelegt werden. Die Nullhypothese konkretisiert die unbekannte Wahrscheinlichkeit, oft auf der Grundlage eines bisherigen Kenntnisstandes oder einer Vermutung. Ist die Nullhypothese bekannt, lässt sich damit auch der Annahme- und der Ablehnungsbereich der Nullhypothese allgemein vorformulieren. Die Durchführung des Signifikantests liefert schließlich die konkreten Grenzen, die den Annahmebereich vom Ablehnungsbereich trennen.
Analyse der Angabe:
„... auf der Basis einer Befragung von 200 Kunden ..."
\[n = 200\]
„... auf einem Signifikanzniveau von 10 % testen: ..."
\[\alpha = 0{,}10\]
„... wählt die Geschäftsleitung für den Test die Nullhypothese II."
\[\Longrightarrow \quad H_{0}\colon p \geq 0{,}15\]
Anmerkung: Die Wahl der Nullhypothese ist keine Frage der Mathematik, sondern vielmehr eine Frage der jeweiligen Interessensperspektive. Häufig gilt es zu entscheiden, ob ein möglicher finanzieller Verlust oder ein möglicher Imageverlust schwerer wiegt (siehe Angabe). Die Wahl der Nullhypothese verfolgt die Absicht, einen sachbezogenen folgenschweren Fehler zu minimieren, indem dieser als Fehler 1. Art beschrieben wird. Die Wahrscheinlichkeit für den Fehler darf das vorgegebene Signivikanzniveau nicht überschreiten (siehe auch Teilaufgabe 2b).
Linksseitiger Signifikanztest
Anmerkung: Bei einem linksseitigen Signifikanztest (rechtsseitigen Signifikanztest) liegt der Ablehnungsbereich der Nullhypothese links des Erwartungswertes (rechts des Erwartungswerts). Den Ablehnungsbereich erschließt man sich am besten sachlich logisch anhand der vorliegenden Nullhypothese. Insofern ist es für den Lösungsweg nicht zwingend notwendig, zwischen linksseitigem und rechtsseitigem Signifikanztest zu unterscheiden.
Nullhypothese \(H_{0}\colon p \geq 0{,}15\)
Gegenhypothese \(H_{1} \colon p < 0{,}15\)
Die Nullhypothese \(H_{0}\colon p \geq 0{,}15\) wird abgelehnt, wenn tendenziell wenige Kunden bereit sind, die App zu nutzen.
\(\Longrightarrow \quad\) Ablehnungsbereich von \(H_{0}\): \(\overline{A} = \{0; 1; ... ; k\}\)
\(\Longrightarrow \quad\) Annahmebereich von \(H_{0}\): \(A = \{k + 1; ... ; 200\}\)
Signifikanztest formulieren:
Die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art darf höchstens das vorgegebene Signifikanzniveau \(\alpha\) erreichen.
\[\begin{align*} P(\text{„Fehler 1. Art"}) &\leq \alpha \\[0.8em] P^{n}_{p_{0}}(X \in \overline{A}) &\leq \alpha \\[0.8em] P^{200}_{0{,}15}(X \leq k) &\leq 0{,}10 \end{align*}\]
Stochastisches Tafelwerk (ST) verwenden:
\[P_{0{,}15}^{200}(X \leq k) = F_{0{,}15}^{200}(k) = \sum \limits_{i\,=\,0}^{k} B(200;0{,}15;i) \leq 0{,}10\]
\[\overset{\text{ST}}{\Longrightarrow} \quad k = 23 \quad \bigg( F_{0{,}15}^{200}(23) \enspace \overset{\text{ST}}{=} \enspace 0{,}09592 \bigg)\]
Entscheidungsregel formulieren:
Ablehnungsbereich von \(H_{0}\): \(\overline{A} = \{0; 1; ... ; 23\}\)
Annahmebereich von \(H_{0}\): \(A = \{24; ... ; 200\}\)
Wenn mindestens 24 der 200 befragten Kunden bereit sind, die App zu nutzen, wird der Finanzchef der Handelskette einer Beteiligung an der App zustimmen.
Wahrscheinlichkeitsverteilung der nach \(B(200;0{,}15)\) binomialverteilten Zufallsgröße \(X\), Fehler 1. Art für \(k = 23\): \(P^{200}_{0{,}15}(X \leq 23) = 0{,}09592 \approx 9{,}5\,\%\)
