Teilaufgabe 1c

Erstellen Sie zu dem beschriebenen Sachverhalt für den Fall, dass das Ereignis \(E\) mit einer Wahrscheinlichkeit von 98 % eintritt, eine vollständig ausgefüllte Vierfeldertafel. Bestimmen Sie für diesen Fall die Wahrscheinlichkeit \(P_{S}(M)\).

(5 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 1c

 

Vierfeldertafel der Wahrscheinlichkeiten, Bedingte Wahrscheinlichkeit

 

Vierfeldertafel

 

\[P(E) = 0{,}98\]

 

Die Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse \(M\) und \(S\) sind bereits aus Teilaufgabe 1b bekannt: 

\[P(M) = 0{,}9\,; \enspace P(S) = 0{,}24\]

 

Wahrscheinlichkeiten der Gegenereignisse \(\overline{M}\) und \(\overline{S}\):

\[P(\overline{M}) = 1 - P(M) = 1 - 0{,}9 = 0{,}1\]

\[P(\overline{S}) = 1 - P(S)  = 1 - 0{,}24 = 0{,}76\]

 

Vierfeldertafel der Wahrscheinlichkeiten:

 

  \(M\) \(\overline{M}\)  
\(S\) \(P(M \cap S)\)  \(P(\overline{M} \cap S)\)   \(0{,}24\)
\(\overline{S}\) \(P(M \cap \overline{S})\)  \(P(\overline{M} \cap \overline{S})\)   \(0{,}76\)
   \(0{,}9\) \(0{,}1\)  \(1\)

 

Um die Vierfeldertafel vollständig ausfüllen zu können, muss eine der Schnittmengenwahrscheinlichkeiten (Wahrscheinlichkeit eines Elementarereignisses) bekannt sein.

 

Aus Teilaufgabe 1a ist bekannt:

\[\begin{align*}E &= M \cup S \\[0.8em] &= (M \cap S) \cup (M \cap \overline{S}) \cup (\overline{M} \cap S) \end{align*}\]

 

\[\begin{align*}\Longrightarrow \quad P(E) &= P(M \cup S) \\[0.8em] &= P(M \cap S) + P(M \cap \overline{S}) + P(\overline{M} \cap S) \end{align*}\]

 

  \(M\) \(\overline{M}\)  
\(S\) \(P(M \cap S)\)  \(P(\overline{M} \cap S)\)   \(0{,}24\)
\(\overline{S}\) \(P(M \cap \overline{S})\)  \(P(\overline{M} \cap \overline{S})\)   \(0{,}76\)
   \(0{,}9\) \(0{,}1\)  \(1\)

Wahrscheinlichkeit des Ereignisses \(E\) (grau hinterlegte Einträge) 

 

\[P(E) = 0{,}98\]

 

\[P(\overline{E}) = P(\overline{M} \cap \overline{S}) = 1 - P(E) = 1 - 0{,}98 = 0{,}02\]

 

Als Alternative lässt sich ein Gesetz von de Morgan anwenden:

 

\(P(E) = P(M \cup S)\) (siehe Teilaufgabe 1a)

\[\begin{align*} \Longrightarrow \quad P(\overline{E}) &= P(\overline{M \cup S}) & &| \; \overline{M \cup S} = \overline{M} \cap \overline{S} \\[0.8em] &= P(\overline{M} \cap \overline{S}) \end{align*}\]

 

\[P(\overline{E}) = P(\overline{M} \cap \overline{S}) = 1 - P(E) = 1 - 0{,}98 = 0{,}02\]

 

Als weitere Alternative kann der Additionssatz angewendet werden:

 

\(P(E) = P(M \cup S)\) (siehe Teilaufgabe 1a)

\(P(M) = 0{,}9\,; \enspace P(S) = 0{}24\) (siehe Teilaufgabe 1b)

\[P(E) = 0{,}98\]

 

\(\begin{align*}P(E) &= P(M \cup S) & &| \; \text{Additionssatz anwenden} \\[0.8em] &= P(M) + P(S) - P(M \cap S) & &| + P(M \cap S) \enspace - P(E) \\[0.8em] P(M \cap S) &= P(M) + P(S) - P(E) \\[0.8em] &= 0{,}9 + 0{,}24 - 0{,}98 \\[0.8em] &= 0{,}16 \end{align*}\)

 

  \(M\) \(\overline{M}\)  
\(S\) \(0{,}16\)  \(P(\overline{M} \cap S)\)   \(0{,}24\)
\(\overline{S}\) \(P(M \cap \overline{S})\)  \(0{,}02\)   \(0{,}76\)
   \(0{,}9\) \(0{,}1\)  \(1\)

 

Es ist ausreichen, eine der Schnittmengenwahrscheinlichkeiten zu berechnen. Die Vierfeldertafel kann anschließend mittels Subtraktion vervollständigt werden.

 

  \(M\) \(\overline{M}\)  
\(S\) \(P(M \cap S)\)  \(P(\overline{M} \cap S)\)   \(0{,}24\)
\(\overline{S}\) \(P(M \cap \overline{S})\)  \(0{,}02\)   \(0{,}76\)
   \(0{,}9\) \(0{,}1\)  \(1\)

 

\[P(\overline{M} \cap S) = P(\overline{M}) - P(\overline{M} \cap \overline{S}) = 0{,}1 - 0{,}02 = 0{,}08\]

\[P(M \cap \overline{S}) = P(\overline{S}) - P(\overline{M} \cap \overline{S}) = 0{,}76 - 0{,}02 = 0{,}74\]

\[P(M \cap S) = P(S) - P(\overline{M} \cap S) = 0{,}24 - 0{,}08 = 0{,}16\]

oder

\[P(M \cap S) = P(M) - P(M \cap \overline{S}) = 0{,}9 - 0{,}74 = 0{,}16\]

 

bzw.

  \(M\) \(\overline{M}\)  
\(S\) \(0{,}16\)  \(P(\overline{M} \cap S)\)   \(0{,}24\)
\(\overline{S}\) \(P(M \cap \overline{S})\)  \(P(\overline{M} \cap \overline{S})\)   \(0{,}76\)
   \(0{,}9\) \(0{,}1\)  \(1\)

 

\[P(M \cap \overline{S}) = P(M) - P(M \cap S) = 0{,}9 - 0{,}16 = 0{,}74\]

\[P(\overline{M} \cap S) = P(S) - P(M \cap S) = 0{,}24 - 0{,}16 = 0{,}08\]

\[P(\overline{M} \cap \overline{S}) = P(\overline{M}) - P(\overline{M} \cap S) = 0{,}1 - 0{,}08 = 0{,}02\]

oder

\[P(\overline{M} \cap \overline{S}) = P(\overline{S}) - P(M \cap \overline{S}) = 0{,}76 - 0{,}74 = 0{,}02\]

 

  \(M\) \(\overline{M}\)  
\(S\) \(0{,}16\)  \(0{,}08\)   \(0{,}24\)
\(\overline{S}\) \(0{,}74\)  \(0{,}02\)   \(0{,}76\)
   \(0{,}9\) \(0{,}1\)  \(1\)

 

Wahrscheinlichkeit \(P_{S}(M)\)

Der Vierfeldertafel entnimmt man die Wahrscheinlichkeiten \(P(M \cap S)\). Die Wahrscheinlichkeit \(P(S)\) ist aus Teilaufgabe 1b bekannt.

 

\[P(M \cap S) = 0{,}16\,; \enspace P(S) = 0{,}24\]

 

\[P_{S}(M) = \frac{P(M \cap S)}{P(S)} = \frac{0{,}16}{0{,}24} = \frac{2}{3}\]

Weitere Lösungen dieser Aufgabengruppe: « Teilaufgabe 1b Teilaufgabe 2a »