Teilaufgabe 2a
Lösung zu Teilaufgabe 2a
Binomialverteilung
Zufallsgröße \(X\): „Anzahl der Senioren, die ein Mobiltelefon besitzen"
Analyse der Angabe:
„Zwei Drittel der Senioren in Deutschland besitzen ein Mobiltelefon."
\(\Longrightarrow \quad p = P_{S}(M) = \frac{2}{3}\) (siehe auch Teilaufgabe 1c)
„... dass unter 30 zufällig ausgewählten Senioren in Deutschland ..."
\[\Longrightarrow \quad n = 30\]
„... Wahrscheinlichkeit dafür ... dass ... mindestens 17 und höchstens 23 ein Mobiltelefon besitzen."
\[\Longrightarrow \quad 17 \leq X \leq 23\]
Die Trefferwahrscheinlichkeit dafür, dass ein zufällig ausgewählter Senior in Deutschland ein Mobiltelefon besitzt, ist mit \(p = \frac{2}{3}\) konstant. Bei den 30 zufällig ausgewählten Senioren werden die beiden Ereignisse \(M\): „besitzt ein Mobiltelefon" und \(\overline{M}\): „besitzt kein Mobiltelefon" unterschieden.
Die Zufallsgröße \(X\) ist nach \(B(30;\frac{2}{3})\) binomialverteilt.
Stochastisches Tafelwerk (ST) anwenden:
Die Trefferwahrscheinlichkeit \(p = \frac{2}{3}\) und die Bernoullikette der Länge \(n = 30\) ist im Stochastischen Tafelwerk mit Abiturzulassung tabellarisiert. Es werden die Werte der Kumulativen Verteilungsfunktion in der rechten Spalte benötigt.
\[\begin{align*} P^{30}_{\frac{2}{3}}(17 \leq X \leq 23) &= P^{30}_{\frac{2}{3}}(X \leq 23) - P^{30}_{\frac{2}{3}}(X \leq 16) \\[0.8em] &\overset{\text{ST}}{=} 0{,}91616 - 0{,}08977 \\[0.8em] &= 0{,}82639 \\[0.8em] &\approx 82{,}64\,\% \end{align*}\]
Wahrscheinlichkeitsverteilung der nach \(B(30;\frac{2}{3})\) binomialverteilten Zufallsgröße \(X\), Wahrscheinlichkeit \(P_{\frac{2}{3}}^{30}(17 \leq X \leq 23)\)
