Teilaufgabe 2a

Zwei Drittel der Senioren in Deutschland besitzen ein Mobiltelefon. Bei einer Talkshow zum Thema „Chancen und Risiken der digitalen Welt" sitzen 30 Senioren im Publikum.

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter 30 zufällig ausgewählten Senioren in Deutschland mindestens 17 und höchstens 23 ein Mobiltelefon besitzen.

(3 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 2a

 

Binomialverteilung

 

Zufallsgröße \(X\): „Anzahl der Senioren, die ein Mobiltelefon besitzen"

 

Analyse der Angabe:

 

„Zwei Drittel der Senioren in Deutschland besitzen ein Mobiltelefon."

\(\Longrightarrow \quad p = P_{S}(M) = \frac{2}{3}\) (siehe auch Teilaufgabe 1c)

 

„... dass unter 30 zufällig ausgewählten Senioren in Deutschland ..."

\[\Longrightarrow \quad n = 30\]

 

„... Wahrscheinlichkeit dafür ... dass ... mindestens 17 und höchstens 23 ein Mobiltelefon besitzen."

\[\Longrightarrow \quad 17 \leq X \leq 23\]

 

Die Trefferwahrscheinlichkeit dafür, dass ein zufällig ausgewählter Senior in Deutschland ein Mobiltelefon besitzt, ist mit \(p = \frac{2}{3}\) konstant. Bei den 30 zufällig ausgewählten Senioren werden die beiden Ereignisse \(M\): „besitzt ein Mobiltelefon" und \(\overline{M}\): „besitzt kein Mobiltelefon" unterschieden.

Die Zufallsgröße \(X\) ist nach \(B(30;\frac{2}{3})\) binomialverteilt.

 

Stochastisches Tafelwerk (ST) anwenden: 

Die Trefferwahrscheinlichkeit \(p = \frac{2}{3}\) und die Bernoullikette der Länge \(n = 30\) ist im Stochastischen Tafelwerk mit Abiturzulassung tabellarisiert. Es werden die Werte der Kumulativen Verteilungsfunktion in der rechten Spalte benötigt.

\[\begin{align*} P^{30}_{\frac{2}{3}}(17 \leq X \leq 23) &= P^{30}_{\frac{2}{3}}(X \leq 23) - P^{30}_{\frac{2}{3}}(X \leq 16) \\[0.8em] &\overset{\text{ST}}{=} 0{,}91616 - 0{,}08977 \\[0.8em] &= 0{,}82639 \\[0.8em] &\approx 82{,}64\,\% \end{align*}\]

 

Wahrscheinlichkeitsverteilung der nach B(30;2/3) binomialverteilten Zufallsgröße X, Wahrscheinlichkeit P(17 ≤ X ≤ 23)

Wahrscheinlichkeitsverteilung der nach \(B(30;\frac{2}{3})\) binomialverteilten Zufallsgröße \(X\), Wahrscheinlichkeit \(P_{\frac{2}{3}}^{30}(17 \leq X \leq 23)\)

Weitere Lösungen dieser Aufgabengruppe: « Teilaufgabe 1c Teilaufgabe 2b »