Teilaufgabe 2a

Stochastik 2

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Zwei Drittel der Senioren in Deutschland besitzen ein Mobiltelefon. Bei einer Talkshow zum Thema „Chancen und Risiken der digitalen Welt" sitzen 30 Senioren im Publikum.

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter 30 zufällig ausgewählten Senioren in Deutschland mindestens 17 und höchstens 23 ein Mobiltelefon besitzen.

(3 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 2a

Binomialverteilung

Zufallsgröße \(X\): „Anzahl der Senioren, die ein Mobiltelefon besitzen"

Analyse der Angabe:

„Zwei Drittel der Senioren in Deutschland besitzen ein Mobiltelefon."

\(\Longrightarrow \quad p = P_{S}(M) = \frac{2}{3}\) (siehe auch Teilaufgabe 1c)

„... dass unter 30 zufällig ausgewählten Senioren in Deutschland ..."

\[\Longrightarrow \quad n = 30\]

„... Wahrscheinlichkeit dafür ... dass ... mindestens 17 und höchstens 23 ein Mobiltelefon besitzen."

\[\Longrightarrow \quad 17 \leq X \leq 23\]

Die Trefferwahrscheinlichkeit dafür, dass ein zufällig ausgewählter Senior in Deutschland ein Mobiltelefon besitzt, ist mit \(p = \frac{2}{3}\) konstant. Bei den 30 zufällig ausgewählten Senioren werden die beiden Ereignisse \(M\): „besitzt ein Mobiltelefon" und \(\overline{M}\): „besitzt kein Mobiltelefon" unterschieden.

Binomialverteilte Zufallsgröße - Binomialverteilung

Binomialverteilte Zufallsgröße

Für eine Zufallsgröße \(X\), welche bei einer Bernoulli-Kette der Länge \(n\) die Anzahl der Treffer \(k \in \{0,1,\dots,n\}\) mit der Trefferwahrscheinlichkeit \(p\) angibt, gilt:

Binomialverteilung (vgl. Merkhilfe)

\[P_{p}^{n}(X = k) = B(n;p;k) = \binom{n}{k} \cdot p^{k} \cdot (1 - p)^{n - k} \quad (0 \leq k \leq n)\]

Eine Binomialverteilung ist durch die Parameter \(n\) und \(p\) eindeutig bestimmt und wird durch das Symbol \(B(n:p)\) gekennzeichnet. \(X\) heißt binomialverteilt nach \(B(n;p)\).

Voraussetzung für eine Binomialverteilung

Ein Zufallsexperiment, bei dem nur zwei sich gegenseitig ausschließende Ereignisse \(A\) und \(\overline{A}\) mit konstanten Wahrscheinlichkeiten eintreten können (Bernoulli-Experiment).

Die Zufallsgröße \(X\) ist nach \(B(30;\frac{2}{3})\) binomialverteilt.

Stochastisches Tafelwerk (ST) anwenden:

Die Trefferwahrscheinlichkeit \(p = \frac{2}{3}\) und die Bernoullikette der Länge \(n = 30\) ist im Stochastischen Tafelwerk mit Abiturzulassung tabellarisiert. Es werden die Werte der Kumulativen Verteilungsfunktion in der rechten Spalte benötigt.

Kumulative Verteilungsfunktion einer binomialverteilten Zufallsgröße

Kumulative Verteilungsfunktion einer nach \(B(n, p)\) binomialverteilten Zufallsgröße \(X\)

\[F^n_p (k) = P^n_p (X \leq k) = \sum_{i \, = \, 0}^k B(n; p; i) = \sum_{i \, = \, 0}^k \binom{n}{i} \cdot p^i \cdot (1 - p)^{n - i}\]

Wobei \(n\) die Länge der Bernoullikette, \(p\) die Trefferwahrscheinlichkeit für das Eintreten des betrachteten Ereignisses und \(k \in \{0,1,\dots,n\}\) die Anzahl der Treffer ist.

Das Stochastische Tafelwerk (ST) listet die Werte der Kumulativen Verteilungsfunktion jeweils in der rechten Spalte einer betrachteten Tabelle der Parameter \(n\) und \(p\).

\[\begin{align*} P^{30}_{\frac{2}{3}}(17 \leq X \leq 23) &= P^{30}_{\frac{2}{3}}(X \leq 23) - P^{30}_{\frac{2}{3}}(X \leq 16) \\[0.8em] &\overset{\text{ST}}{=} 0{,}91616 - 0{,}08977 \\[0.8em] &= 0{,}82639 \\[0.8em] &\approx 82{,}64\,\% \end{align*}\]

Wahrscheinlichkeitsverteilung der nach \(B(30;\frac{2}{3})\) binomialverteilten Zufallsgröße \(X\), Wahrscheinlichkeit \(P_{\frac{2}{3}}^{30}(17 \leq X \leq 23)\)

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