Teilaufgabe 3

Eine Handelskette hat noch zahlreiche Smartphones des Modells Y3 auf Lager, als der Hersteller das Nachfolgemodell Y4 auf den Markt bringt. Der Einkaufspreis für das neue Y4 beträgt 300 €, während die Handelskette für das Vorgängermodell Y3 im Einkauf nur 250 € bezahlen musste. Um die Lagerbestände noch zu verkaufen, bietet die Handelskette ab dem Verkaufsstart des Y4 die Smartphones des Typs Y3 für je 199 € an.

Aufgrund früherer Erfahrungen geht die Handelskette davon aus, dass von den verkauften Smartphones der Modelle Y3 und Y4 trotz des Preisnachlasses nur 26 % vom Typ Y3 sein werden. Berechnen Sie unter dieser Voraussetzung, zu welchem Preis die Handelskette das Y4 anbieten muss, damit sie voraussichtlich pro verkauftem Smartphone der Modelle Y3 und Y4 im Mittel 97 € mehr erhält, als sie beim Einkauf dafür zahlen musste.

(4 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 3

 

Erwartungswert einer Zufallsgröße

 

Zufallsgröße \(G\): „Gewinn, der durch den Verkauf der Smartphones vom Typ Y3 und Y4 erzielt wird in Euro"

 

Analyse der Angabe:

 

„... für das Vorgängermodell Y3 im Einkauf nur 250 € bezahlen musste."

„... bietet ... die Smartphones des Typs Y3 für je 199 € an."

\(\Longrightarrow \quad\) Gewinn (Verlust) beim Verkauf eins Smartphones vom Typ Y3: \(199\;\text{€} - 250\;\text{€} = -51\;\text{€}\)

 

„Der Einkaufspreis für das neue Y4 beträgt 300 € ..."

\(\Longrightarrow \quad\) Gewinn beim Verkauf eins Smartphones vom Typ Y4: \((x - 300)\;\text{€}\), wobei \(x\) der gesuchte Verkaufspreis des Y4 ist.

 

„... dass von den verkauften Smartphones ... nur 26 % vom Typ Y3 sein werden."

\[\Longrightarrow \quad P(G = -51) = 0{,}26\]

\[\Longrightarrow \quad P(G = x - 300) = 0{,}74\]

 

„Berechnen Sie ... zu welchem Preis die Handelskette das Y4 anbieten muss, damit sie voraussichtlich pro verkauftem Smartphone der Modelle Y3 und Y4 im Mittel 97 € mehr erhält, als sie im Einkauf dafür zahlen musste."

\[\Longrightarrow \quad E(G) = 97\]

 

Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße \(G\):

\(G = g_{i}\) \(-51\) \(x - 300\)
\(P(G = g_{i})\) \(0{,}26\) \(0{,}74\)

 

Verkaufspreis \(x\) des Smartphones vom Typ Y4 berechnen:

\[\begin{align*} E(G) &= 97 \\[0.8em] (-51) \cdot 0{,}26 + (x - 300) \cdot 0{,}74 &= 97 \\[0.8em] -13{,}26 + 0{,}74x - 222 &= 97 \\[0.8em] 0{,}74x - 235{,}26 &= 97 & &| + 235{,}26 \\[0.8em] 0{,}74x &= 332{,}26 & &| : 0{,}74 \\[0.8em] x &= 449 \end{align*}\]

 

Die Handelskette muss das Y4 für 449 € anbieten, um im Mittel pro verkauftem Smartphone der Modelle Y3 und Y4 97 € mehr zu erhalten, als sie beim Verkauf dafür zahlen musste.

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