Teilaufgabe 2

Zeigen Sie, dass der Graph der in \(\mathbb R\) definierten Funktion \(g \colon x \mapsto x^{2} \cdot \sin{x}\) punktsymmetrisch bezüglich des Koordinatenursprungs ist, und geben Sie den Wert des Integrals \(\displaystyle \int_{-\pi}^{\pi} x^{2} \cdot \sin{x}\, dx\) an.

(3 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 2

 

Symmetrieverhalten einer Funktion, Bestimmtes Integral und Flächenbilanz

 

\[g(x) = x^{2} \cdot \sin{x}; \; D = \mathbb R\]

 

Nachweis der Punktsymmetrie des Graphen der Funktion \(g\)

Der Graph der Funktion \(g\) ist punktsymmetrisch bezüglich des Koordinatenursprungs, falls gilt:

 

\[g(-x) = -g(x)\]

 

Unter Berücksichtigung der Punktsymmetrie des Graphen der Sinusfunktion \(x \mapsto \sin x\) lässt sich die Punktsymmetrie des Graphen der Funktion \(g\) nachweisen.

Das heißt, es gilt: \(\sin(-x) = -\sin x\).

 

\[\begin{align*} g(-x) &= (-x)^{2} \cdot \sin(-x) & &| \; \sin(-x) = -\sin{x} \\[0.8em] &= -x^{2} \cdot \sin{x} \\[0.8em] &= -g(x) \end{align*}\]

 

\(\Longrightarrow \quad\)Der Graph der Funktion \(g\) ist punktsymmetrisch bezüglich des Koordinatenursprungs.

 

Wert des Integrals \(\displaystyle \int_{-\pi}^{\pi} x^{2} \cdot \sin{x}\, dx\)

 

\[\int_{-\pi}^{\pi} x^{2} \cdot \sin{x}\, dx = 0\]

 

Begründung (nicht verlangt):

Ist \(f\) eine Funktion, deren Graph \(G_{f}\) bezüglich des Koordinatenursprungs punktsymmetrisch verläuft, so ist der Wert des bestimmten Integrals \(\displaystyle \int_{-a}^{a} f(x)\, dx\) mit den zum Koordinatenursprung symmetrischen Integrationsgrenzen \(-a\) und \(a\) \((a \in \mathbb R)\) gleich Null.

Der zum Koordinatenursprung punktsymmetrische Graph der Funktion \(g\) verläuft im Intervall \([-\pi;0]\) unterhalb der \(x\)-Achse und im Intervall \([0;\pi]\) oberhalb der \(x\)-Achse. Die Flächeninhalte, welche \(G_{g}\) im Intervall \([-\pi;0]\) bzw. im Intervall \([0;\pi]\) mit der \(x\)-Achse einschließt, sind dem Betrag nach gleich groß. Das Integral \(\displaystyle \int_{-\pi}^{\pi} x^{2} \cdot \sin{x}\, dx\) kann als Flächenbilanz dieser Flächeninhalte betrachtet werden. Dabei wird der unterhalb der \(x\)-Achse liegende Flächeninhalt negativ gezählt \((-A)\) und der oberhalb der \(x\)-Achse liegende Flächeninhalt positiv gezählt \((+A)\). Folglich ist die Flächenbilanz der Flächeninhalte gleich Null.

 

\[\int_{-\pi}^{\pi} x^{2} \cdot \sin{x}\, dx = \underbrace{\int_{-\pi}^{0} x^{2} \cdot \sin{x}\, dx}_{\Large{-A}} + \underbrace{\int_{0}^{\pi} x^{2} \cdot \sin{x}\, dx}_{\Large{+A}} = 0\]

 

Graph der Funktion g, Flächenbilanz für x ∈ [-π;π]

Graph der Funktion \(g \colon x \mapsto x^{2} \cdot \sin{x}\) und Flächenbilanz des Integrals \(\displaystyle \int_{-\pi}^{\pi} x^{2} \cdot \sin{x}\, dx\)

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