Teilaufgabe 1a

Gegeben ist die Funktion \(f \colon x \mapsto \dfrac{\ln{x}}{x^{2}}\) mit maximalem Definitionsbereich \(D\).

Geben Sie \(D\) sowie die Nullstelle von \(f\) an und bestimmen Sie \(\lim \limits_{x \, \to \, 0} f(x)\).

(3 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 1a

 

Maximaler Definitionsbereich, Nullstelle und Grenzwertbetrachtung einer Funktion

 

\[f(x) = \frac{\ln{x}}{x^{2}}\]

 

Maximaler Definitionsbereich \(D\)

 

Die Natürliche Logarithmusfunktion \(x \mapsto \ln{x}\) ist in \(\mathbb R^{+}\) definiert. Damit ist bereits ausgeschlossen, dass der Nennerterm \(x^{2}\) den Wert Null annehmen kann.

 

\[\Longrightarrow \quad D = \mathbb R^{+}\]

 

Nullstelle von \(f\)

 

Der Quotient \(\dfrac{\ln{x}}{x^{2}}\) ist gleich Null, wenn der Zählerterm \(\ln{x}\) gleich Null ist.

 

\[\begin{align*}f(x) = 0 \quad \Longrightarrow \quad \ln{x} &= 0 & &| \ln {1} = 0 \\[0.8em] x &= 1 \end{align*}\]

 

Bestimmung des Grenzwerts \(\lim \limits_{x \, \to \, 0} f(x)\)

 

\[f(x) = \frac{\ln{x}}{x^{2}}\]

 

Die Grenzwertbetrachtung \(\lim \limits_{x \, \to \, 0} f(x)\) wird deutlicher, wenn man den Quotienten \(\dfrac{\ln{x}}{x^{2}}\) als Produkt \(\ln{x} \cdot \dfrac{1}{x^{2}}\) formuliert.

 

\[\lim \limits_{x \, \to \, 0} f(x) = \lim \limits_{x \, \to \, 0} \; \frac{\ln{x}}{x^{2}} = \lim \limits_{x \, \to \, 0} \bigg( \underbrace{\ln{x}}_{\to \, -\infty} \cdot \underbrace{\frac{1}{x^{2}}}_{\to \, +\infty}\bigg) = -\infty\]

 

Graph der Funktion f

Graph der Funktion \(f\)

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