Teilaufgabe 2b

Der Graph der Funktion \(h\) ist streng monoton fallend und rechtsgekrümmt.

(2 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 2b

 

Monoptoniekriterium, Krümmungsverhalten, Entwicklung von Funktionen

 

1. Lösungsansatz: Monotoniekriterium, Krümmungsverhalten

Für die gesuchte Funktion \(h\) muss im gesamten Definitionsbereich \(D_{h}\) gelten:

Der Graph der Funktion \(h\) ist streng monoton fallend.

\(\Longrightarrow \quad h'(x) < 0\)

Der Graph der Funktion \(h\) ist rechtsgekrümmt.

\(\Longrightarrow \quad h'' < 0\)

 

Diese Bedingungen erfüllt beispielsweise die in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(h \colon x \mapsto -e^{x}\), denn es gilt:

\[h(x) = -e^{x}; \; D_{h} = \mathbb R\]

\[h'(x) = -e^{x} \quad \Longrightarrow \quad h'(x) < 0\]

\[h''(x) = -e^{x} \quad \Longrightarrow \quad h''(x) < 0\]

  

2. Lösungsansatz: Betrachtung der Natürliche Exponentialfunktion

Der Graph der natürlichen Exponetialfunktion \(f \colon x \mapsto e^{x}\) ist streng monoton steigend und in \(D_{f} = \mathbb R\) linksgekrümmt. Spiegelt man den Graphen der natürlichen Exponentialfunktion an der \(x\)-Achse, so ist der Graph der entstehenden Funktion \(h\) streng monoton fallend und in \(D_{h} = \mathbb R\) rechtsgekrümmt.

\[f(x) = e^{x}\; \; D_{f} = \mathbb R\]

\[h(x) = - f(x) = -e^{x}\]

 

\[\Longrightarrow \quad h(x) = -e^{x}; \; D_{h} = \mathbb R\]

 

Graph der Natürlichen Exponentialfunktion f und Graph der Funktion h, welche durch Spiegelung des Graphen von f an der x-Achse hervorgeht

Streng monoton steigender, linksgekrümmter Graph der in \(\mathbb R\) definierten Funktion \(f \colon x \mapsto e^{x}\) und streng monoton fallender, rechtsgekrümmter Graph der ebenfalls in \(\mathbb R\) definierten Funktion \(h \colon x \mapsto -e^{x}\)

 

3. Lösungsansatz: Betrachtung der Natürliche Logarithmusfunktion

Der Graph der natürlichen Logarithmusfunktion \(f \colon x \mapsto \ln{x}\) ist streng monoton steigend und in \(D_{f} = \mathbb R^{+}\) rechtsgekrümmt. Spiegelt man den Graphen der natürlichen Logarithmusfunktion an der \(y\)-Achse, so ist der Graph der entstehenden Funktion \(h\) streng monoton fallend und in \(D_{h} = \mathbb R^{-}\) rechtsgekrümmt.

\[f(x) = \ln{x}\; \; D_{f} = \mathbb R^{+}\]

\[h(x) = f(-x) = \ln(-x)\]

 

\[\Longrightarrow \quad h(x) = \ln(-x); \; D_{h} = \mathbb R^{-}\]

 

Graph der natürlichen Logarithmusfunktion f und Graph der Funktion h, welcher durch Spiegelung des Graphen von f an der y-Achse hervorgeht

Streng monoton steigender, rechtsgekrümmter Graph der in \(\mathbb R^{+}\) definierten Funktion \(f \colon x \mapsto \ln{x}\) und streng monoton fallender, rechtsgekrümmter Graph der in \(\mathbb R^{-}\) definierten Funktion \(h \colon x \mapsto \ln(-x)\)

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