Teilaufgabe 2a

Gegeben sind die Punkte \(A(-2|1|4)\) und \(B(-4|0|6)\)

Bestimmen Sie die Koordinaten des Punkts \(C\) so, dass gilt: \(\overrightarrow{CA} = 2 \cdot \overrightarrow{AB}\).

(2 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 2a

 

Vektoraddition bzw. -subtraktion

 

1. Lösungsansatz: Vektorgleichung auflösen

 

\(A(-2|1|4)\), \(B(-4|0|6)\)

\[\overrightarrow{CA} = 2 \cdot \overrightarrow{AB}\]

 

\[\begin{align*}\overrightarrow{CA} &= 2 \cdot \overrightarrow{AB} \\[0.8em] \overrightarrow{A} - \overrightarrow{C} &= 2 \cdot \overrightarrow{AB} & &| + \overrightarrow{C} - 2 \cdot \overrightarrow{AB} \\[0.8em] \overrightarrow{A} - 2 \cdot \overrightarrow{AB} &= \overrightarrow{C} \\[0.8em] \overrightarrow{A} - 2 \cdot (\overrightarrow{B} - \overrightarrow{A}) &= \overrightarrow{C} \\[0.8em] \overrightarrow{A} - 2 \cdot \overrightarrow{B} + 2 \cdot \overrightarrow{A} &= \overrightarrow{C} \\[0.8em] 3 \cdot \overrightarrow{A} - 2 \cdot \overrightarrow{B} &= \overrightarrow{C} \\[0.8em] 3 \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} - 2 \cdot \begin{pmatrix} -4 \\ 0 \\ 6 \end{pmatrix} &= \overrightarrow{C} \\[0.8em] \begin{pmatrix} -6 \\ 3 \\ 12 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -8 \\ 0 \\ 12 \end{pmatrix} &= \overrightarrow{C} \\[0.8em] \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} &= \overrightarrow{C} \end{align*}\]

 

\[\Longrightarrow \quad C(2|3|0)\]

 

2. Lösungsansatz: Vektoraddition bzw. -subtraktion

Planskizze: Punkte A, B und C mit Ortsvektoren und Verbindungsvektoren

Planskizze: Ortsvektoren \(\overrightarrow{A}\), \(\overrightarrow{B}\) und \(\overrightarrow{C}\), Verbindungsvektor \(\overrightarrow{BA} = -\overrightarrow{AB}\) (Gegenvektor zu \(\overrightarrow{AB}\))

 

Die Koordinaten des Ortsvektors \(\overrightarrow{C}\) lassen sich durch Vektoraddition bzw. Subtraktion berechnen.

 

\(A(-2|1|4)\), \(B(-4|0|6)\)

 

\[\begin{align*} \overrightarrow{C} &= \overrightarrow{A} + 2 \cdot (-\overrightarrow{AB}) \\[0.8em] &= \overrightarrow{A} - 2 \cdot \overrightarrow{AB} \\[0.8em] &= \overrightarrow{A} - 2 \cdot (\overrightarrow{B} - \overrightarrow{A}) \\[0.8em] &= \overrightarrow{A} - 2 \cdot \overrightarrow{B} + 2 \cdot \overrightarrow{A} \\[0.8em] &= 3 \cdot \overrightarrow{A} - 2 \cdot \overrightarrow{B} \\[0.8em] &= 3 \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} - 2 \cdot \begin{pmatrix} -4 \\ 0 \\ 6 \end{pmatrix} \\[0.8em] &= \begin{pmatrix} -6 \\ 3 \\ 12 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -8 \\ 0 \\ 12 \end{pmatrix} \\[0.8em] &= \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} \end{align*}\]

 

\[\Longrightarrow \quad C(2|3|0)\]

 

oder: 

Planskizze: Punkte A, B und C mit Ortsvektoren und Verbindungsvektoren

 

\(A(-2|1|4)\), \(B(-4|0|6)\)

 

\[\begin{align*} \overrightarrow{C} &= \overrightarrow{B} + 3 \cdot (-\overrightarrow{AB}) \\[0.8em] &= \overrightarrow{B} - 3 \cdot \overrightarrow{AB} \\[0.8em] &= \overrightarrow{B} - 3 \cdot (\overrightarrow{B} - \overrightarrow{A}) \\[0.8em] &= \overrightarrow{B} - 3 \cdot \overrightarrow{B} + 3 \cdot \overrightarrow{A} \\[0.8em] &= 3 \cdot \overrightarrow{A} - 2 \cdot \overrightarrow{B} \\[0.8em] &= 3 \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} - 2 \cdot \begin{pmatrix} -4 \\ 0 \\ 6 \end{pmatrix} \\[0.8em] &= \begin{pmatrix} -6 \\ 3 \\ 12 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -8 \\ 0 \\ 12 \end{pmatrix} \\[0.8em] &= \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} \end{align*}\]

 

\[\Longrightarrow \quad C(2|3|0)\]

Weitere Lösungen dieser Aufgabengruppe: « Teilaufgabe 1b Teilaufgabe 2b »