Teilaufgabe 1a

Gegeben sind die Ebene \(E \colon 2x_{1} + x_{2} + 2x_{3} = 6\) sowie die Punkte \(P(1|0|2)\) und \(Q(5|2|6)\).

Zeigen Sie, dass die Gerade durch die Punkte \(P\) und \(Q\) senkrecht zur Ebene \(E\) verläuft.

(2 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 1a

 

Lineare Abhängigkeit von Vektoren

 

\[E \colon 2x_{1} + x_{2} + 2x_{3} = 6\]

\(P(1|0|2)\), \(Q(5|2|6)\)

 

Planskizze: Ebene E und Gerade PQ ⊥ E

Planskizze: Ebene \(E\) und Gerade \(PQ \perp E\)

 

Die Gerade \(PQ\) durch die Punkte \(P\) und \(Q\) verläuft senkrecht zur Ebene \(E\), wenn der Verbindungsvektor \(\overrightarrow{PQ}\) (oder \(\overrightarrow{QP}\)) und der Noramlenvektor \(\overrightarrow{n}_{E}\) der Ebene \(E\) linear abhängig sind. Das heißt, es muss beispielsweise gelten:

\(\overrightarrow{PQ} = k \cdot \overrightarrow{n}_{E}; \; k \in \mathbb R\)

 

Normalenvektor \(\overrightarrow{n}_{E}\) der Ebene \(E\):

Der Normalenvektor \(\overrightarrow{n}_{E}\) der Ebene \(E\) kann der Ebenengleichung entnommen werden.

\[E \colon 2x_{1} + x_{2} + 2x_{3} = 6 \quad \Longrightarrow \quad \overrightarrow{n}_{E} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}\]

 

Verbindungsvektor \(\overrightarrow{PQ}\) bestimmen:

 

\(P(1|0|2)\), \(Q(5|2|6)\)

 

\[\overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{Q} - \overrightarrow{P} = \begin{pmatrix} 5 \\ 2 \\ 6 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix}\]

 

Lineare Abhängigkeit der Vektoren \(\overrightarrow{PQ}\) und \(\overrightarrow{n}_{E}\) prüfen:

 

\[\overrightarrow{n}_{E} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}; \enspace \overrightarrow{PQ} = \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix}\]

 

\[\Longrightarrow \quad \overrightarrow{PQ} = 2 \cdot \overrightarrow{n}_{E}\]

 

Die Vektoren \(\overrightarrow{PQ}\) und \(\overrightarrow{n}_{E}\) sind linear abhängig. Folglich verläuft die Gerade \(PQ\) senkrecht zur Ebene \(E\).

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