Teilaufgabe 1b

Die Punkte \(P\) und \(Q\) liegen symmetrisch zu einer Ebene \(F\). Ermitteln Sie eine Gleichung von \(F\).

(3 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 1b

 

Parallele Ebenen

 

\[E \colon 2x_{1} + x_{2} + 2x_{3} = 6\]

\(P(1|0|2)\), \(Q(5|2|6)\)

 

Ebene E und parallele Ebene F durch den Mittelpunkt der Strecke [PQ]

Planskizze: Ebene \(E\) und Ebene \(F \parallel E\) durch den Mittelpunkt \(M_{[PQ]}\) der Strecke \([PQ]\)

 

Die Punkte \(P\) und \(Q\) liegen symmetrisch zur Ebene \(F\), wenn die Gerade \(PQ\) senkrecht zur Ebene \(F\) verläuft und die Ebene \(F\) den Mittelpunkt \(M_{[PQ]}\) der Strecke \([PQ]\) enthält.

 

\[\left. \begin{align*} &PQ \perp E \\[0.8em] &PQ \perp F \end{align*} \right\} \quad \Longrightarrow \quad F \parallel E \quad \Longrightarrow \quad \overrightarrow{n}_{F} = \overrightarrow{n}_{E}\]

\[F \colon \overrightarrow{n}_{E} \circ \left( \overrightarrow{X} - \overrightarrow{M}_{[PQ]} \right) = 0\]

 

Aus Teilaufgabe 1a ist bekannt:

 

\[\overrightarrow{n}_{E} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} = \overrightarrow{n}_{F}\]

 

Ortsvektor \(\overrightarrow{M}_{[PQ]}\) berechnen:

\[\begin{align*}\overrightarrow{M}_{[PQ]} &= \frac{1}{2} \cdot (\overrightarrow{P} + \overrightarrow{Q}) \\[0.8em] &= \frac{1}{2} \cdot \left[ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 5 \\ 2 \\ 6 \end{pmatrix} \right] \\[0.8em] &= \frac{1}{2} \cdot \begin{pmatrix} 6 \\ 2 \\ 8 \end{pmatrix} \\[0.8em] &= \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} \end{align*}\]

 

Damit lässt sich die Ebene \(F\) in der Normalenform in Vektordarstellung angeben. Eine Umformung in die Kordiantendarstellung kann erfolgen, ist aber nicht zwingend erforderlich, da die Aufgabenstellung dies nicht ausdrücklich verlangt.

\[F \colon \overrightarrow{n}_{E} \circ \left( \overrightarrow{X} - \overrightarrow{M}_{[PQ]} \right) = 0\]

\[F \colon \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} \circ \left[ \overrightarrow{X} - \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} \right] = 0\]

 

Umformung in die Koordinatendarstellung (nicht verlangt!):

\[\begin{align*}\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} \circ \left[ \overrightarrow{X} - \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} \right] &= 0 \\[0.8em] 2 \cdot (x_{1} - 3) + 1 \cdot (x_{2} - 1) + 2 \cdot (x_{3} - 4) &= 0 \\[0.8em] 2x_{1} - 6 + x_{2} - 1 + 2x_{3} - 8 &= 0 \\[0.8em] 2x_{1} + x_{2} + 2x_{3} - 15 &= 0 \end{align*}\]

 

\[\Longrightarrow \quad F \colon 2x_{1} + x_{2} + 2x_{3} = 15\]

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