Teilaufgabe 1

Die beiden Baumdiagramme gehören zum selben Zufallsexperiment mit den Ereignissen \(A\) und \(B\).

Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit \(P(B)\) und ergänzen Sie anschließend an allen Ästen des rechten Baumdiagramms die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten.

Abbildung Baumdiagramm links zu Teilaufgabe 1 - Stochastik 1 - Prüfungsteil A - Mathematik Abitur Bayern 2016
Abbildung Baumdiagramm rechts zu Teilaufgabe 1 - Stochastik 1 - Prüfungsteil A - Mathematik Abitur Bayern 2016

(Teilergebnis: \(P(B) = 0{,}5\))

(5 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 1

 

Anmerkung: Wegen der besseren Lesbarkeit, werden die beiden Baumdiagramme in der Ansicht mit mobilen Endgeräten ggf. untereinander angezeigt. Das gemäß Angabe rechte Baumdiagramm erscheint dann unterhalb des linken Baumdiagramms.

 

Baumdiagramm und Pfadregeln, Bedingte Wahrscheinlichkeit

 

Berechnung der Wahrscheinlichkeit \(P(B)\)

 

Abbildung Baumdiagramm links zu Teilaufgabe 1 - Stochastik 1 - Prüfungsteil A - Mathematik Abitur Bayern 2016

Die Wahrscheinlichkeit \(P(B)\) für das Eintreten des Ereignisses \(B\) lässt sich mithilfe der 1. und der 2. Pfadregel berechnen.

 

\[\begin{align*} P(B) &= P(A \cap B) + P((\overline{A} \cap B)) \\[0.8em] &= \underbrace{\underbrace{0{,}4 \cdot \frac{3}{4}}_{\large \text{1. Pfadregel}} + \underbrace{0{,}6 \cdot \frac{1}{3}}_{\large \text{1. Pfadregel}}}_{\large \text{2. Pfadregel}} \\[0.8em] &= \frac{4}{10} \cdot \frac{3}{4} + \frac{6}{10} \cdot \frac{1}{3} \\[0.8em] &= \frac{3}{10} + \frac{2}{10} \\[0.8em] &= \frac{5}{10} \\[0.8em] &= 0{,}5 \end{align*}\]

 

Wahrscheinlichkeiten des rechten Baumdiagramms

 

Abbildung Baumdiagramm links zu Teilaufgabe 1 - Stochastik 1 - Prüfungsteil A - Mathematik Abitur Bayern 2016
Abbildung Baumdiagramm rechts zu Teilaufgabe 1 - Stochastik 1 - Prüfungsteil A - Mathematik Abitur Bayern 2016

Das linke Baumdiagramm erlaubt mithilfe der 1. Pfadregel die Berechnung aller Wahrscheinlichkeiten der Schnittmengen \(A \cap B\), \(A \cap \overline{B}\), \(\overline{A} \cap B\) und \(\overline{A} \cap \overline{B}\). Diese lassen sich auf das rechte Baumdiagramm übertragen. Zusammen mit der bereits bekannten Wahrscheinlichkeit \(P(B)\) können damit die bedingten Wahrscheinlichkeiten \(P_{B}(A)\), \(P_{B}(\overline{A})\), \(P_{\overline{B}}(A)\) und \(P_{\overline{B}}(\overline{A})\) berechnet werden.

 

\[P(A \cap B) = 0{,}4 \cdot \frac{3}{4} = 0{,}3 = P(B \cap A)\]

\[P(A \cap \overline{B}) = 0{,}4 \cdot \frac{1}{4} = 0{,}1 = P(\overline{B} \cap A) \]

\[P(\overline{A} \cap B) = 0{,}6 \cdot \frac{1}{3} = 0{,}2 = P(B \cap \overline{A})\]

\[P(\overline{A} \cap \overline{B}) = 0{,}6 \cdot \frac{2}{3} = 0{,}4 = P(\overline{B} \cap \overline{A})\]

 

\[P(B) = 0{,}5 \quad \Longrightarrow \quad P(\overline{B}) = 0{,}5\]

 

linkes Baumdiagramm mit den Eintragungen der Wahrscheinlichkeiten der Schnittmengen an den Enden der Pfade

Linkes Baumdiagramm mit den Eintragungen der Wahrscheinlichkeiten der Schnittmengen an den Enden der Pfade.

Rechtes Baumdiagramm mit den Eintragungen der Wahrscheinlichkeiten der Schnittmengen an den Enden der Pfade sowie der Benennung der bedingten Wahrscheinlichkeiten an den zweiten Pfaden

Rechtes Baumdiagramm mit den Eintragungen der Wahrscheinlichkeiten der Schnittmengen an den Enden der Pfade sowie der Benennung der bedingten Wahrscheinlichkeiten an den Pfaden der zweiten Stufe des Zufallsexperiments.

Bedingte Wahrscheinlichkeiten \(P_{B}(A)\), \(P_{B}(\overline{A})\), \(P_{\overline{B}}(A)\) und \(P_{\overline{B}}(\overline{A})\) berechnen:

\[P_{B}(A) = \frac{P(B \cap A)}{P(B)} = \frac{0{,}3}{0{,}5} = 0{,}6\]

 

Knotenregel anwenden:

\[P_{B}(\overline{A}) = 1 - P_{B}(A) = 1 - 0{,}6 = 0{,}4\]

 

\[P_{\overline{B}}(A) = \frac{P(\overline{B} \cap A)}{P(\overline{B})} = \frac{0{,}1}{0{,}5} = 0{,}2\]

 

Knotenregel anwenden:

 

\[P_{\overline{B}}(\overline{A}) = 1 - P_{\overline{B}}(A) = 1 - 0{,}2 = 0{,}8\]

 

Rechtes Baumdiagramm mit den Eintragungen der Wahrscheinlichkeiten an allen Ästen des Baumdiagramms

Rechtes Baumdiagramm mit den Eintragungen der Wahrscheinlichkeiten an allen Ästen des Baumdiagramms

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