Teilaufgabe 2b

Die Zufallsgröße \(X\) ordnet jedem Ergebnis die Anzahl der entsprechenden Münzwürfe zu. Berechnen Sie den Erwartungswert von \(X\).

(3 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 2b

 

Wahrscheinlichkeitsverteilung und Erwartungswert einer Zufallsgröße

 

Zufallsgröße \(X\): Anzahl der Münzwürfe

 

Aus Teilaufgabe 2a ist bekannt:

 

\[P(\{ZZ\}) = P(\{WW\}) = 0{,}5 \cdot 0{,}5 = 0{,}25\]

\[\begin{align*}P(\{ZWZ\}) &= P(\{ZWW\}) = P(\{WZZ\}) = P(\{WZW\}) \\[0.8em] &= 0{,}125\end{align*}\]

 

Die Zufallsgröße \(X\) kann die Werte \(x_{1} = 2\) (zwei Münzwürfe) und \(x_{2} = 3\) (drei Münzwürfe) annehmen (vgl. Baumdiagramm Teilaufgabe 2a).

 

Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße \(X\):

 

\[P(X = 2) = P(\{ZZ\}) + P(\{WW\}) = 0{,}25 + 0{,}25 = 0{,}5\]

\[\begin{align*}P(X = 3) &= P(\{ZWZ\}) + P(\{ZWW\}) + P(\{WZZ\}) + P(\{WZW\}) \\[0.8em] &= 0{,}125 + 0{,}125 + 0{,}125 + 0{,}125 \\[0.8em] &= 0{,}5\end{align*}\]

 

\(X = x_{i}\) \(2\) \(3\)
\(P(X = x_{i})\) \(0{,}5\) \(0{,}5\)

Verteilungstabelle der Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße \(X\)

 

Erwartungswert der Zufallsgröße \(X\) berechnen:

\[\begin{align*}E(X) &= x_{1} \cdot P(X = x_{1}) + x_{2} \cdot P(X = x_{2}) \\[0.8em] &= 2 \cdot 0{,}5 + 3 \cdot 0{,}5 \\[0.8em] &= 2{,}5 \end{align*}\]

Weitere Lösungen dieser Aufgabengruppe: « Teilaufgabe 2a