Teilaufgabe 1b
Lösung zu Teilaufgabe 1b
Wahrscheinlichkeitsverteilung und Erwartungswert einer Zufallsgröße
Zufallsgröße \(X\): Anzahl der Münzwürfe
Aus Teilaufgabe 2a ist bekannt:
\[P(\{ZZ\}) = P(\{WW\}) = 0{,}5 \cdot 0{,}5 = 0{,}25\]
\[\begin{align*}P(\{ZWZ\}) &= P(\{ZWW\}) = P(\{WZZ\}) = P(\{WZW\}) \\[0.8em] &= 0{,}125\end{align*}\]
Die Zufallsgröße \(X\) kann die Werte \(x_{1} = 2\) (zwei Münzwürfe) und \(x_{2} = 3\) (drei Münzwürfe) annehmen (vgl. Baumdiagramm Teilaufgabe 2a).
Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße \(X\):
\[P(X = 2) = P(\{ZZ\}) + P(\{WW\}) = 0{,}25 + 0{,}25 = 0{,}5\]
\[\begin{align*}P(X = 3) &= P(\{ZWZ\}) + P(\{ZWW\}) + P(\{WZZ\}) + P(\{WZW\}) \\[0.8em] &= 0{,}125 + 0{,}125 + 0{,}125 + 0{,}125 \\[0.8em] &= 0{,}5\end{align*}\]
| \(X = x_{i}\) | \(2\) | \(3\) |
| \(P(X = x_{i})\) | \(0{,}5\) | \(0{,}5\) |
Verteilungstabelle der Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße \(X\)
Erwartungswert der Zufallsgröße \(X\) berechnen:
\[\begin{align*}E(X) &= x_{1} \cdot P(X = x_{1}) + x_{2} \cdot P(X = x_{2}) \\[0.8em] &= 2 \cdot 0{,}5 + 3 \cdot 0{,}5 \\[0.8em] &= 2{,}5 \end{align*}\]
