Teilaufgabe 2a

An einem P-Seminar nehmen acht Mädchen und sechs Jungen teil, darunter Anna und Tobias. Für eine Präsentation wird per Los aus den Teilnehmerinnen und Teilnehmern ein Team aus vier Personen zusammengestellt.

Geben Sie zu jedem der folgenden Ereignisse einen Term an, mit dem die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses berechnet werden kann.

\(A\): „Anna und Tobias gehören dem Team an."

\(B\): „Das Team besteht aus gleich vielen Mädchen und Jungen."

(3 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 2a

 

Urnenmodell „Ziehen ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge"

 

Die Personen werden einmalig per Los ausgewählt (ohne Zurücklegen). Für das Eintreten des Ereignisses \(A\) bzw. des Ereignisses \(B\) spielt es keine Rolle, in welcher Reihenfolge die Auswahl des jeweiligen Teams erfolgt (ohne Beachtung der Reihenfolge).

Die Wahrscheinlichkeitsberechnung kann nach dem Urnenmodell „Ziehen ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge" erfolgen (vgl. Merkhilfe). 

 

\(A\): „Anna und Tobias gehören dem Team an."

 

1. Lösungsansatz: Urnenmodell „Ziehen ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge"

\(N\): 14 Personen (8 Mädchen, 6 Jungen) nehmen an dem P-Seminar teil.

\(n\): 4 Personen (Team) werden für eine Präsentation per Los ausgewählt.

\(K\): 2 bestimmte Personen (Anna und Tobias) sind unter den Teilnehmern.

\(k\): 2 bestimmte Personen (Anna und Tobias) sollen dem Team angehören.

 

\[\begin{align*} P(A) &= \frac{\displaystyle \binom{K}{k} \cdot \binom{N - K}{n - k}}{\displaystyle \binom{N}{n}} \\[0.8em] &= \frac{\displaystyle \binom{2}{2} \cdot \binom{14 - 2}{4 - 2}}{\displaystyle \binom{14}{4}} \\[0.8em] &= \frac{\displaystyle \binom{2}{2} \cdot \binom{12}{2}}{\displaystyle \binom{14}{4}} & &| \; \binom{n}{k = n} = 1 \\[0.8em] &= \frac{\displaystyle \binom{12}{2}}{\displaystyle \binom{14}{4}} \end{align*}\]

  

2. Lösungsansatz: Laplace-Wahrscheinlichkeit

Der Binomialkoeffizient \(\displaystyle \binom{14}{4}\) gibt die Anzahl aller gleichwahrscheinlichen Möglichkeiten (Ergebnisse) an, ein Team von 4 Personen unter 14 Teilnehmern des P-Seminars für eine Präsentation auszuwählen. Das Losverfahren kann somit als Laplace-Experiment betrachtet werden. Die Wahrscheinlichkeit \(P(A)\) lässt sich mithilfe der Formel von Laplace berechnen.

\[P(A) = \frac{\vert A \vert}{\vert \Omega \vert} = \frac{\text{Anzahl der für}\; A \; \text{günstigen Ergebnisse}}{\text{Anzahl der insgesamt möglichen Ergebnisse}}\]

 

Anzahl der für das Ereignis \(A\) günstigen Ergebnisse:

Es gibt \(\displaystyle \binom{2}{2} = 1\) Möglichkeit (ohne Beachtung der Reihenfolge), Anna und Tobias auszuwählen.

Es gibt \(\displaystyle \binom{12}{2}\) Möglichkeiten (ohne Beachtung der Reihenfolge), 2 weitere Personen von den verbleiben 12 Personen auszuwählen.

 

Nach dem Zählprinzip folgt:

\[\vert A \vert = \text{Anzahl der für}\; A \; \text{günstigen Ergebnisse} = 1 \cdot \binom{12}{2}\]

 

Damit ergibt sich für die Wahrscheinlichkeit \(P(A)\):

 

\[\begin{align*}P(A) &= \frac{\text{Anzahl der für}\; A \; \text{günstigen Ergebnisse}}{\text{Anzahl der insgesamt möglichen Ergebnisse}} \\[0.8em] &= \frac{\displaystyle \binom{12}{2}}{\displaystyle \binom{14}{4}} \end{align*}\]

 

\(B\): „Das Team besteht aus gleich vielen Mädchen und Jungen."

 

2 Mädchen und 2 Jungen sollen das Team von 4 Personen bilden.

 

1. Lösungsansatz: Urnenmodell „Ziehen ohne zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge"

Entweder man betrachtet die Mädchen oder die Jungen als die schwarzen Kugeln des Urnenmodells (Treffer). Beide Sichtweisen sind möglich und zielführend.

 

\(N\): 14 Personen (8 Mädchen, 6 Jungen) nehmen an dem P-Seminar teil.

\(n\): 4 Personen (Team) werden für eine Präsentation per Los ausgewählt.

\(K\): 8 Mädchen sind unter den Teilnehmern.

\(k\): 2 Mädchen sollen dem Team angehören.

 

\[\begin{align*} P(B) &= \frac{\displaystyle \binom{K}{k} \cdot \binom{N - K}{n - k}}{\displaystyle \binom{N}{n}} \\[0.8em] &= \frac{\displaystyle \binom{8}{2} \cdot \binom{14 - 8}{4 - 2}}{\displaystyle \binom{14}{4}} \\[0.8em] &= \frac{\displaystyle \binom{8}{2} \cdot \binom{6}{2}}{\displaystyle \binom{14}{4}} \end{align*}\]

 

oder

 

\(N\): 14 Personen (8 Mädchen, 6 Jungen) nehmen an dem P-Seminar teil.

\(n\): 4 Personen (Team) werden für eine Präsentation per Los ausgewählt.

\(K\): 6 Jungen sind unter den Teilnehmern.

\(k\): 2 Jungen sollen dem Team angehören.

 

\[\begin{align*} P(B) &= \frac{\displaystyle \binom{K}{k} \cdot \binom{N - K}{n - k}}{\displaystyle \binom{N}{n}} \\[0.8em] &= \frac{\displaystyle \binom{6}{2} \cdot \binom{14 - 6}{4 - 2}}{\displaystyle \binom{14}{4}} \\[0.8em] &= \frac{\displaystyle \binom{6}{2} \cdot \binom{8}{2}}{\displaystyle \binom{14}{4}} \end{align*}\]

 

2. Lösungsansatz: Laplace-Wahrscheinlichkeit

Der Binomialkoeffizient \(\displaystyle \binom{14}{4}\) gibt die Anzahl aller gleichwahrscheinlichen Möglichkeiten (Ergebnisse) an, ein Team von 4 Personen unter 14 Teilnehmern des P-Seminars für eine Präsentation auszuwählen. Das Losverfahren kann somit als Laplace-Experiment betrachtet werden. Die Wahrscheinlichkeit \(P(B)\) lässt sich mithilfe der Formel von Laplace berechnen.

\[P(B) = \frac{\vert B \vert}{\vert \Omega \vert} = \frac{\text{Anzahl der für}\; B \; \text{günstigen Ergebnisse}}{\text{Anzahl der insgesamt möglichen Ergebnisse}}\]

 

Anzahl der für das Ereignis \(B\) günstigen Ergebnisse:

Es gibt \(\displaystyle \binom{8}{2}\) Möglichkeiten (ohne Beachtung der Reihenfolge), 2 Mädchen von 8 Mädchen auszuwählen.

Es gibt \(\displaystyle \binom{6}{2}\) Möglichkeiten (ohne Beachtung der Reihenfolge), 2 Jungen von 6 Jungen auszuwählen.

 

Nach dem Zählprinzip folgt:

\[\vert B \vert = \text{Anzahl der für}\; B \; \text{günstigen Ergebnisse} = \binom{8}{2} \cdot \binom{6}{2}\]

 

Damit ergibt sich für die Wahrscheinlichkeit \(P(B)\):

 

\[\begin{align*}P(B) &= \frac{\text{Anzahl der für}\; B \; \text{günstigen Ergebnisse}}{\text{Anzahl der insgesamt möglichen Ergebnisse}} \\[0.8em] &= \frac{\displaystyle \binom{8}{2} \cdot \binom{6}{2}}{\displaystyle \binom{14}{4}}\end{align*}\]

Weitere Lösungen dieser Aufgabengruppe: « Teilaufgabe 1b Teilaufgabe 2b »