Teilaufgabe 1b

Ermitteln Sie das Symmetrieverhalten von \(G_{f}\) sowie das Verhalten von \(f\) für \(x \to - \infty\) und für \(x \to +\infty\).

(3 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 1b

 

Symmetrieverhalten und Verhalten im Unendlichen

 

\[f(x) = e^{\frac{1}{2}x} + e^{-\frac{1}{2}x}; \; D = \mathbb R\]

 

Symmetrieverhalten von \(G_{f}\)

Das Symmetrieverhalten von \(G_{f}\) wird ermittelt, indem zunächst \(f(-x)\) bestimmt wird, und anschließend überprüft wird, ob \(f(-x) = f(x)\) oder \(f(-x) = -f(x)\) gilt, oder ggf. keine der beiden Gleichungen erfüllt ist.

\[f(-x) = e^{\frac{1}{2} \cdot (-x)} + e^{-\frac{1}{2} \cdot (-x)} = e^{-\frac{1}{2}x} + e^{\frac{1}{2}x} = f(x)\]

 

\(\Longrightarrow \quad G_{f}\) ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse.

 

Verhalten von \(f\) für \(x \to -\infty\) und für \(x \to +\infty\)

 

\[\lim \limits_{x \, \to \, -\infty} f(x) = \lim \limits_{x \, \to \, -\infty} \Big( \underbrace{e^{\frac{1}{2}x}}_{\to \, 0} + \underbrace{e^{-\frac{1}{2}x}}_{\to \, +\infty} \Big) = +\infty\]

\[\lim \limits_{x \, \to \, +\infty} f(x) = \lim \limits_{x \, \to \, +\infty} \Big( \underbrace{e^{\frac{1}{2}x}}_{\to \, +\infty} + \underbrace{e^{-\frac{1}{2}x}}_{\to \, 0} \Big) = +\infty\]

 

Alternative:

Da \(G_{f}\) achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse ist, ist es auch möglich nur eine der Grenzweltbetrachtungen \(\lim \limits_{x \, \to \, -\infty} f(x)\) oder \(\lim \limits_{x \, \to \, +\infty} f(x)\) durchzuführen und auf die jeweils andere Grenzwertbetrachtung zu schließen.

 

\[\lim \limits_{x \, \to \, -\infty} f(x) = +\infty \quad \Longrightarrow \quad \lim \limits_{x \, \to \, +\infty} f(x) = +\infty\]

bzw.

\[\lim \limits_{x \, \to \, +\infty} f(x) = +\infty \quad \Longrightarrow \quad \lim \limits_{x \, \to \, -\infty} f(x) = +\infty\]

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