Teilaufgabe 1d

Bestimmen Sie Lage und Art des Extrempunkts von \(G_{f}\).

(3 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 1d

 

Extrempunkt bestimmen

 

\[f(x) = e^{\frac{1}{2}x} + e^{-\frac{1}{2}x}; \; D = \mathbb R\]

 

Lage des Extrempunkts von \(G_{f}\)

 

Notwendige Bedingung für eine Extremstelle von \(G_{f}\):

 

\[f'(x) \overset{!}{=} 0\]

 

Aus Teilaufgabe 1c ist bekannt:

 

\[f'(x) = \frac{1}{2} \cdot \left( e^{\frac{1}{2}x} - e^{-\frac{1}{2}x} \right)\]

 

Nullstelle von \(f'\) bestimmen:

 

\[\begin{align*}f'(x) &= 0 \\[0.8em] \Longrightarrow \quad e^{\frac{1}{2}x} - e^{-\frac{1}{2}x} &= 0 & &| +e^{-\frac{1}{2}x} \\[0.8em] e^{\frac{1}{2}x} &= e^{-\frac{1}{2}x} & &| \; \ln \enspace \text{(Logarithmieren)} \\[0.8em] \ln\left( e^{\frac{1}{2}x} \right) &= \ln \left( e^{-\frac{1}{2}x} \right) & &| \; \log_{a}\left( a^{x} \right) = x \\[0.8em] \frac{1}{2}x &= -\frac{1}{2}x & &| + \frac{1}{2}x \\[0.8em] x &= 0 \end{align*}\]

 

Aus Teilaufgabe 1a ist bekannt: \(f(0) = 2\).

 

\(\Longrightarrow \quad\)Der Punkt \((0|2)\) ist einziger Extrempunkt von \(G_{f}\).

 

Art des Extrempunkts von \(G_{f}\)

 

1. Möglichkeit: Art von Extrempunkten mithilfe der zweiten Ableitung

Aus Teilaufgabe 1c ist bekannt:

 

\(f''(x) > 0\) für \(x \in \mathbb R\)

 

\[\Longrightarrow \quad f''(0) > 0\]

 

\[\left. \begin{align*} &f'(0) = 0 \\[0.8em] &f''(0) > 0 \end{align*} \right\} \enspace \Rightarrow \enspace \text{Tiefpunkt} \; TiP(0|2)\]

 

Alternative Argumentation in Zusammenhang mit der zweiten Ableitung \(f''\):

Aus Teilaufgabe 1c ist bekannt, dass \(G_{f}\) in \(\mathbb R\) linksgekrümmt ist. Folglich ist der Extrempunkt \((0|2)\) von \(G_{f}\) ein Tiefpunkt.

 

2. Möglichkeit: Monotoniekriterium bzw. Monotonietabelle

\[f'(x) = \frac{1}{2} \cdot \left( e^{\frac{1}{2}x} - e^{-\frac{1}{2}x} \right)\]

 

Um den Vorzeichenwechsel von \(f'(x)\) in der Umgebung der Extremstelle \(x = 0\) beurteilen und dokumentieren zu können, ist eine Skizze der Graphen der Funktionen \(x \mapsto e^{\frac{1}{2}x}\) und \(x \mapsto e^{-\frac{1}{2}x}\) hilfreich.

 

Beurteilung des Vorzeichenwechsels von f' anhand einer Skizze

Vorzeichenwechsels von \(f'\) in der Umgebung der Extremstelle \(x = 0\) anhand einer Skizze der Graphen der Funktionen \(x \mapsto e^{\frac{1}{2}x}\) und \(x \mapsto e^{-\frac{1}{2}x}\)

 

\[\left. \begin{align*} &f'(x) < 0 \enspace \text{für} \enspace x < 0 \\[0.8em] &f'(0) = 0 \\[0.8em] &f'(x) > 0 \enspace \text{für} \enspace x > 0 \end{align*} \right\} \enspace \Rightarrow \enspace \text{Tiefpunkt} \; TiP(0|2)\]

 

Veranschaulichung mithilfe einer Monotonietabelle:

 

\(x\) \(x < 0\) \(x = 0\) \(x > 0\)
f'(x) \(-\) \(0\) \(+\)
\(G_{f}\) \(\searrow\) \(TiP\) \(\nearrow\)

  

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