Teilaufgabe 1g

Zeigen Sie durch Rechnung, dass für \(x \in \mathbb R\) die Beziehung \(\frac{1}{4} \cdot [f(x)]^{2} - [f'(x)]^{2} = 1\) gilt.

(3 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 1g

 

Termumformung, Binomische Formeln und Rechenregeln für Potenzen anwenden

 

\[\frac{1}{4} \cdot [f(x)]^{2} - [f'(x)]^{2} = 1\]

 

Aus den Teilaufgaben 1a,c ist bekannt:

 

\[f(x) = e^{\frac{1}{2}x} + e^{-\frac{1}{2}x}; \; D_{f} = \mathbb R\]

\[f'(x) = \frac{1}{2} \cdot \left( e^{\frac{1}{2}x} - e^{-\frac{1}{2}x} \right); \; D_{f'} = \mathbb R\]

 

Der Nachweis der Beziehung \(\frac{1}{4} \cdot [f(x)]^{2} - [f'(x)]^{2} = 1\) lässt sich führen, indem man zunächst die Funktionsterme  von \(f(x)\) und \(f'(x)\) in die Gleichung einsetzt und anschließend unter Berücksichtigung der 1. bzw. 2. Binomischen Formel und der Rechenregeln für Potenzen \(\left(a^{m}\right)^{n} = a^{m \,\cdot \, n}\) bzw. \(a^{m} \cdot a^{n} = a^{m\, +\, n}\) die Gültigkeit der Beziehung bestätigt.

 

Für alle \(x \in \mathbb R\) gilt:

 

\[\begin{align*} \frac{1}{4} \cdot [f(x)]^{2} - [f'(x)]^{2} &= \frac{1}{4} \cdot \left(e^{\frac{1}{2}x} + e^{-\frac{1}{2}x}\right)^{2} - \left[\frac{1}{2} \cdot \left( e^{\frac{1}{2}x} - e^{-\frac{1}{2}x} \right)\right]^{2} \\[0.8em] &= \frac{1}{4} \cdot \left(e^{\frac{1}{2}x} + e^{-\frac{1}{2}x}\right)^{2} - \frac{1}{4} \cdot \left(e^{\frac{1}{2}x} - e^{-\frac{1}{2}x}\right)^{2} \\[0.8em] &= \frac{1}{4} \cdot \bigg[ \underbrace{\left(e^{\frac{1}{2}x} + e^{-\frac{1}{2}x}\right)^{2}}_{\large (a \, + \, b)^{2}} - \underbrace{\left(e^{\frac{1}{2}x} - e^{-\frac{1}{2}x}\right)^{2}}_{\large (a \, - \, b)^{2}} \bigg] \\[0.8em] &= \frac{1}{4} \cdot \bigg[ \underbrace{\left( e^{\frac{1}{2}x} \right)^{2} + 2 \cdot e^{\frac{1}{2}x} \cdot e^{-\frac{1}{2}x} + \left( e^{-\frac{1}{2}x} \right)^{2}}_{\large a^{2} \, + \, 2ab \,+ \, b^{2}} \\[0.8em] &\qquad \quad \; - \bigg( \underbrace{\left( e^{\frac{1}{2}x} \right)^{2} - 2 \cdot e^{\frac{1}{2}x} \cdot e^{-\frac{1}{2}x} + \left( e^{-\frac{1}{2}x} \right)^{2}}_{\large a^{2} \, - \, 2ab \,+ \, b^{2}} \bigg) \bigg] \\[0.8em] &= \frac{1}{4} \cdot \left[ e^{x} + 2 \cdot e^{0} + e^{-x} - \left( e^{x} - 2 \cdot e^{0} + e^{-x} \right) \right] \\[0.8em] &= \frac{1}{4} \cdot \left( e^{x} + 2 + e^{-x} - e^{x} + 2 - e^{-x} \right) \\[0.8em] &= \frac{1}{4} \cdot 4 \\[0.8em] &= 1\end{align*}\] 

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