Teilaufgabe 2d

Für jedes \(x \in \; ]0;4[\) wird der Abstand der vertikal übereinander liegenden Punkte \((x|q(x))\) und \((x|f(x))\) der Graphen von \(q\) bzw. \(f\) betrachtet, wobei in diesem Bereich \(q(x) > f(x)\) gilt. Der größte dieser Abstände ist ein Maß dafür, wie gut die Parabel den Graphen \(G_{f}\) im Bereich \(0 < x < 4\) annähert. Beschreiben Sie die wesentlichen Schritte, mithilfe derer man diesen größten Abstand rechnerisch bestimmen kann.

(3 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 2d

 

Extremwertaufgabe

 

\(q(x) > f(x)\) für \(x \in \; ]0;4[\)

 

Graph der Funktion f und Graph der Funktion q für x ∈ ]0;4[, Abstand zweier vertikal übereinander liegender Punkte (x|q(x)) und (x|f(x)) mit  q(x) > f(x)

Planskizze: Graph der Funktion \(f\) und Graph der Funktion \(q\) für \(x \in \; ]0;4[\), Abstand zweier vertikal übereinander liegender Punkte \((x|q(x))\) und \((x|f(x))\) mit \(q(x) > f(x)\)

 

1. Differenzfunktion \(d\) formulieren

Für \(x \in ]0;4[\) beschreibt die Differenzfunktion \(d(x) = q(x) - f(x)\) den Abstand zweier vertikal übereinander liegender Punkte \((x|q(x))\) und \((x|f(x))\) mit \(q(x) > f(x)\).

 

2. Extremstelle der Differenzfunktion \(d\) ermitteln

Die Funktionen \(g\) und \(f\) sind für \(x \in \; ]0;4[\) differenzierbar. Somit ist auch die Differenzfunktion \(d\) für \(x \in \; ]0;4[\) differenzierbar. Damit ist es möglich, mit den Mitteln der Differentialrechnung relative Extrema im Intervall \(]0;4[\) zu ermitteln.

Es gilt:

 

\[d'(x) = q'(x) - f'(x)\]

 

Die Notwendige Bedingung für eine Extremstelle von \(d\) lautet:

 

\[d'(x) \overset{!}{=} 0\]

 

Man bildet die Ableitungsfunktion \(d'\) der Differenzfunktion \(d\) und bestimmt deren Nullstelle \(x_{0}\). Die Nullstelle von \(d'\) ist die Extremstelle von \(d\).

 

Anmerkung: Anhand der Planskizze wird deutlich, dass es in diesem Fall innerehalb des Intervalls \(]0;4[\) nur eine Extremstelle geben kann.

 

3. Größten Abstand (relatives Maximum) im Intervall \(]0;4[\) berechnen

Der Funktionswert der Differenzfunktion \(d\) an der Extremstelle \(x_{0}\) ergibt den größten Abstand \(d_{max}\) im Intervall \(]0;4[\).

 

\[d_{max} = d(x_{0})\]

 

4. Mögliche Randextrema berücksichtigen

Gemäß der Aufgabenstellung wird das offene Intervall \(x \in \; ]0;4[\) betrachtet. Das heißt, die Differenzfunktion \(d\) ist an den Stellen \(x = 0\) und \(x = 4\) nicht definiert. Folglich kann es keine Randmaxima an diesen Stellen geben. 

Damit entspricht der größte Abstand \(d_{max}\) im Intervall \(]0;4[\) dem größten Abstand zweier vertikal übereinander liegender Punkte der Graphen von \(q\) und \(f\).

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