Lösung zu Teilaufgabe 1a
Nullstelle, Scheitelpunkt, Extremstelle des Graphen einer quadratischen Funktion, Steigungswinkel einer Tangente
\[p(x) = -0{,}2x^{2} + 5; \; D_{p} = [-5;5]\]
Nachweis, dass Bedingung I erfüllt ist
Bedingung I:
Breite des Tunnelbodens: b = 10 m
Der Graph der quadratischen Funktion \(p\) ist eine nach unten geöffnet Parabel. Die Länge der Strecke \([N_{1}N_{2}]\) zwischen den Schnittpunkten \(N_{1}(x_{1}|0)\) und \(N_{2}(x_{2}|0)\) der Parabel mit der \(x\)-Achse entspricht bei dieser Modellierung der Breite b des Tunnelbodens.
\[\begin{align*} p(x) &= 0 \\[0.8em] -0{,}2x^{2} + 5 &= 0 & &| - 5 \\[0.8em] -0{,}2x^{2} &= -5 & &| : (-0{,}2) \\[0.8em] x^{2} &= 25 & &| \; \sqrt{\enspace} \\[0.8em] x_{1,2} &= \pm 5 \end{align*}\]
\[x_{1} = -5; \; x_{2} = 5\]
\[\overline{N_{1}N_{2}} = x_{2} - x_{1} = 5 - (-5) = 10\]
Bedingung I ist mit b = 10 m erfüllt.
Nachweis, dass Bedingung II erfüllt ist
Bedingung II:
Höhe des Tunnelbodens an der höchsten Stelle: h = 5 m
1. Lösungsansatz: Scheitelpunkt der Parabel von \(p\)
Die \(y\)-Koordiante des Scheitelpunkts \(S\) der nach unten geöffneten Parabel der quadratischen Funktion \(p\) entspricht bei dieser Modellierung der Höhe h des Tunnels an der höchsten Stelle.
Scheitelpunkt der Parabel von \(p\):
Die quadratische Funktion \(p\) lässt sich ohne Rechenaufwand in der Scheitelpunlktform darstellen, aus der die Scheitelpunktkoordinaten direkt entnommen werden können.
Quadratische Funktion - Scheitelpunktform
Quadratische Funktion:
\[f(x) = ax^2 + bx + c\,; \quad a, b, c \, \in \, \mathbb R\,, a \neq 0\]
Scheitelpunktform
\[f(x) = a(x - d)^2 + e\]
Scheitelpunkt
\[S\,(d|e) \qquad d = -\frac{b}{2a}\,; \quad e = c - \frac{b^2}{4a}\]
\[\begin{align*} p(x) &= -0{,}2x^{2} + 5 \\[0.8em] &= -0{,}2 \cdot (x - 0)^{2} + 5 \end{align*}\]
\[\Longrightarrow \quad S(0|5)\]
Bedingung II ist mit h = 5 m erfüllt.
Alternative Argumentation:
Verschieben von Funktionsgraphen
Verschieben von Funktionsgraphen
\[g(x) = f(x +a) + b\]
Verschiebung in \(x\)-Richtung um \(-a\), Verschiebung in \(y\)-Richtung um \(b\)
Die Parabel der quadratischen Funktion \(p \colon x \mapsto -0{,}2x^{2} + 5\) ist gegenüber der Parabel der Funktion \(x \mapsto -0{,}2x^{2}\), deren Scheitelpunkt im Koordinatenursprung liegt, um 5 in positive \(y\)-Richtung verschoben.
\[\Longrightarrow \quad S(0|5)\]
Bedingung II ist mit h = 5 m erfüllt.
2. Lösungsansatz: Extrempunkt des Graphen von \(p\) bestimmen
Notwendige Bedingung für eine Extremstelle des Graphen der Funktion \(p\):
\[p'(x) \overset{!}{=} 0\]
Erste Ableitung \(p'\) bilden:
\[p(x) = -0{,}2x^{2} + 5; \; D_{p} = [-5;5]\]
Ableitungregeln
Ableitung einer Potenzfunktion
\[f(x) = x^r \quad \Longrightarrow \quad f'(x) = rx^{r - 1} \quad (r \in \mathbb R)\]
Faktorregel
\(f(x) = a \cdot u(x) \quad \Longrightarrow \quad f'(x) = a \cdot u'(x)\)
Summenregel
\(f(x) = u(x) + v(x) \quad \Longrightarrow \quad f'(x) = u'(x) + v'(x)\)
(vgl. Merkhilfe)
\[\begin{align*} p'(x) &= -0{,}2 \cdot 2 \cdot x^{1} \\[0.8em] &= -0{,}4x \end{align*}\]
Nullstelle von \(p'\) ermitteln:
\[\begin{align*} p'(x) &= 0 \\[0.8em] -0{,}4x &= 0 \\[0.8em] x &= 0 \end{align*}\]
Nachweis, der Art des Extrempunkts:
1. Möglichkeit: Extrempunkt einer Parabel
Der Graph der Funktion \(p \colon x \mapsto -0{,}2x^{2} + 5\) ist eine nach unten geöffnete Parabel (Öffnungsfaktor \(a\) < 0). Eine Parabel besitzt genau einen Extrempunkt. Im Falle des Graphen der Funktion \(p\) muss dies ein Hochpunkt \(HoP\) sein.
\[\Longrightarrow \quad HoP(0|p(0))\]
2. Möglichkeit: Monotoniekriterium
Monotoniekriterium
Anwendung der Differetialrechnung:
Monotoniekriterium
\(f'(x) < 0\) im Intervall \( I \quad \Longrightarrow \quad G_{f}\) fällt streng monoton in \(I\)
\(f'(x) > 0\) im Intervall \( I \quad \Longrightarrow \quad G_{f}\) steigt streng monoton in \(I\)
(vgl. Merkhilfe)
\[p'(x) = -0{,}4x\]
\[\left. \begin{align*} &p'(x) > 0 \enspace \text{für} \enspace x < 0 \\[0.8em] &p'(0) = 0 \\[0.8em] &p'(x) < 0 \enspace \text{für} \enspace x > 0 \end{align*} \right\} \enspace \Rightarrow \enspace \text{Hochpunkt} \; HoP(0|p(0))\]
Veranschaulichung mithilfe einer Monotonietabelle:
| \(x\) | \(x < 0\) | \(x = 0\) | \(x > 0\) |
| \(p'(x)\) | \(+\) | \(0\) | \(-\) |
| \(G_{p}\) | \(\nearrow\) | \(HoP(0|p(0))\) | \(\searrow\) |
3. Möglichkeit: Art von Extrempunkten mithilfe der 2. Ableitung
Art von Extrempunkten mithilfe der zweiten Ableitung
Anwendung der Differentialrechnung:
Art von Extrempunkten mithilfe der zweiten Ableitung
Ist \(f'(x_{0}) = 0\) und \(f''(x_{0}) > 0\), so hat der Graph \(G_{f}\) an der Stelle \(x_{0}\) ein relatives Minimum (Tiefpunkt).
Ist \(f'(x_{0}) = 0\) und \(f''(x_{0}) < 0\), so hat der Graph \(G_{f}\) an der Stelle \(x_{0}\) ein relatives Maximum (Hochpunkt).
Zweite Ableitung \(p''\) bilden:
\[p'(x) = -0{,}4x\]
Ableitung einer Potenzfunktion
Ableitung einer Potenzfunktion
\[f(x) = x^r \quad \Longrightarrow \quad f'(x) = rx^{r - 1} \quad (r \in \mathbb R)\]
(vgl. Merkhilfe)
\[p''(x) = -0{,}4\]
\[\left. \begin{align*} &p'(0) = 0 \\[0.8em] &p''(0) < 0 \end{align*} \right\} \enspace \Rightarrow \enspace \text{Hochpunkt} \; HoP(0|p(0))\]
Schlussfolgerung:
\[p(x) = -0{,}2x^{2} + 5; \; D_{p} = [-5;5]\]
\[HoP(0|p(0))\]
\[p(0) = -0{,}2 \cdot 0^{2} + 5 = 5\]
\[\Longrightarrow \quad HoP(0|5)\]
Bedingung II ist mit h = 5 m erfüllt.
Größe des spitzen Winkels, unter dem die linke Tunnelwand auf den Tunnelboden trifft
Der spitze Winkel, unter dem bei dieser Modellierung die linke Tunnelwand auf den Tunnelboden auftrifft, entspricht dem Steigungswinkel \(\alpha\) der Tangente \(T\) an den Graphen der Funktion \(p\) im Punkt \((-5|0)\) (vgl. Nachweis von Bedingung I)
Für die Steigung \(m_{T}\) der Tangente \(T\) an \(G_{p}\) im Punkt \((-5|0)\) gilt:
Tangentensteigung
Anwendung der Differetialrechnung:
Steigung \(m_{T}\) einer Tangente \(T\) an eine Funktion \(f\) im Punkt \(P\,(\,x_0\,|\,f(x_0)\,)\)
\[m_{T} = f'(x_0)\]
(vgl. Merkhilfe)
\[m_{T} = p'(-5)\]
Für den Steigungswinkel \(\alpha\) der Tangente \(T\) gilt:
Steigungswinkel einer Geraden
Steigungswinkel \(\alpha\) einer Geraden \(g \colon y = m \cdot x +t\)
\[\tan \alpha = m \qquad \alpha \neq 90^\circ\]
\[\tan \alpha = m_{T}\]
\[\Longrightarrow \quad \tan \alpha = p'(-5)\]
Steigungswinkel \(\alpha\) berechnen:
\[p'(x) = -0{,}4x\]
\[\begin{align*} \tan \alpha &= p'(-5) \\[0.8em] &= -0{,}4 \cdot (-5) \\[0.8em] &= 2 & &| \; \text{TR:} \; \tan^{-1}(\dots) \\[2.4em] \alpha &\approx 63{,}43^{\circ} \end{align*}\]
Bei dieser Modellierung trifft die linke Tunnelwand unter einem spitzen Winkel von ca. 63.43° auf den Tunnelboden auf.
