Teilaufgabe 1b

Die Schülerinnen und Schüler untersuchen nun den Abstand \(d(x)\) der Graphenpunkte \(P_{x}(x|p(x))\) vom Ursprung des Koordinatensystems.

Zeigen Sie, dass \(d(x) = \sqrt{0{,}04x^{4} - x^{2} + 25}\) gilt.

(3 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 1b

 

Satz des Pythagoras anwenden

 

\[d(x) = \sqrt{0{,}04x^{4} - x^{2} + 25}\]

 

Abstand d(x) der Punkte P(x|p(x)) vom Ursprung M des Koordinatensystems

Der Abstand \(d(x)\) der Graphenpunkte \(P_{x}(x|p(x))\) vom Ursprung des Koordinatensystems \((M)\) lässt sich mithilfe des Satzes des Pythagoras beschreiben.

 

Satz des Pythagoras anwenden:

\[p(x) = -0{,}2x^{2} + 5; \; D_{p} = [-5;5]\]

 

\[\begin{align*} [d(x)]^{2} &= x^{2} + [p(x)]^{2} & &| \; \sqrt{\enspace} \enspace (d(x) > 0) \\[0.8em] d(x) &= \sqrt{x^{2} + [p(x)]^{2}} \\[0.8em] &= \sqrt{x^{2} + (-0{,}2x^{2} + 5)^{2}} \\[0.8em] &= \sqrt{x^{2} + 0{,}04x^{4} - 2x^{2} + 25} \\[0.8em] &= \sqrt{0{,}04x^{2} - x^{2} + 25} \end{align*}\]

 

Anmerkung:

Der Abstand d(x) der Graphenpunkte \(P_{x}(x|p(x))\) vom Koordinatenursprung ist ein im Sachzusammenhang positiver Wert. Wegen \(d(x) > 0\) kann hier die Wurzel beidseitig der Gleichung „problemlos" (ohne Fallunterscheidung) gezogen werden. Das ist nicht selbstverständlich, denn allgemein gilt: \(\sqrt{a^{2}} = \vert a \vert; \; a \in \mathbb R\).

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