Teilaufgabe 2a

Eine zweite Modellierung des Querschnitts der Tunnelwand verwendet eine Kosinusfunktion vom Typ \(k \colon x \mapsto 5 \cdot \cos(c \cdot x)\) mit \(c \in \mathbb R\) und Definitionsbereich \(D_{k} = [-5;5]\), bei der offensichtlich Bedingung II erfüllt ist.

Bestimmen Sie \(c\) so, dass auch Bedingung I erfüllt ist, und berechnen Sie damit den Inhalt der Querschnittfläche des Tunnels.

(zur Kontrolle: \(c = \frac{\pi}{10}\), Inhalt der Querschnittfläche: \(\frac{100}{\pi}\) m²)

(5 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 2a

 

Allgemeine Kosinusfunktion, Flächeninhaltsberechnung durch Integration

 

\[k(x) = 5 \cdot \cos(c \cdot x); \; c \in \mathbb R, \, D_{k} = [-5;5]\]

 

Bestimmung von \(c\), sodass Bedingung I erfüllt ist

 

1. Lösungsansatz: Betrachtung der Periode \(p\) der Kosinusfunktion \(k\)

 

Bedingung I:

Breite des Tunnelbodens: b = 10 m

 

Graph der Funktion k, Länge der Periode p 

Damit Bedingung I mit b = 10 m erfüllt ist, muss die Periode \(p\) der Kosinusfunktion \(k \colon x \mapsto 5 \cdot \cos(c \cdot x)\) doppelt so lang sein wie die Breite b des Tunnelbodens.

 

\[p = 2 \cdot b = 2 \cdot 10 = 20\]

 

Für die Länge der Periode \(p\) der Kosinusfunktion \(k\) gilt: 

\[p = \frac{2\pi}{\vert c \vert}\]

 

Damit lässt sich der Wert für \(c\) berechnen:

 

\[\begin{align*}p = \frac{2\pi}{\vert c \vert} \quad \Longleftrightarrow \quad \vert c \vert &= \frac{2\pi}{p} \\[0.8em] &= \frac{2\pi}{20} \\[0.8em] &= \frac{\pi}{10} \end{align*}\]

 

\[\Longrightarrow \quad c = \frac{\pi}{10} \enspace \vee \enspace c = -\frac{\pi}{10}\]

 

Wegen \(\displaystyle \cos\left( -\frac{\pi}{10} \cdot x \right) = \cos\left( \frac{\pi}{10} \cdot x \right)\) (vgl. Merkhilfe) ist die Betrachtung von \(\displaystyle c = \frac{\pi}{10}\) ausreichend.

 

Die Modellierung des Querschnitts der Tunnelwand unter Verwendung der Kosinusfunktion \(\displaystyle k \colon x \mapsto 5 \cdot \cos\left( \frac{\pi}{10} \cdot x \right)\) mit \(D_{k} = [-5;5]\) erfüllt Bedingung I (und Bedingung II).

 

2. Lösungsansatz: Betrachtung der Nullstellen der Kosinusfunktion \(k\)

 

Nullstellen der Kosinusfunktion x ↦ cos x und Nullstellen der Kosinusfunktion k:x ↦ 5cos(cx) in der Umgebung des Koordinatenursprungs M

Die Kosinusfunnktion \(x \mapsto \cos{x}\) besitzt für \(x = (2k + 1) \cdot \dfrac{\pi}{2}\) mit \(k \in \mathbb Z\) Nullstellen (ungeradzahliges Vielfaches von \(\dfrac{\pi}{2}\)). In nächster Nähe des Koordinatenursprungs \(M\) sind dies die Nullstellen \(x = -\dfrac{\pi}{2}\) und \(x = \dfrac{\pi}{2}\).

Damit Bedingung I mit b = 10 m erfüllt ist, muss die Kosinusfunktion \(k\) in nächster Nähe von \(M\) die Nullstellen \(x = -5\) und \(x = 5\) haben.

 

Damit ergibt sich:

 

\[k(x) = 5 \cdot \cos(c \cdot x); \; c \in \mathbb R, \, D_{k} = [-5;5]\]

 

\[\begin{align*} k(-5) = 0 \quad \Longrightarrow \quad \cos(c \cdot (-5)) &= 0 \\[0.8em] \Longrightarrow \quad c \cdot (-5) &= -\frac{\pi}{2} & &| : (-5) \\[0.8em] c &= \frac{\pi}{10} \end{align*}\]

 

bzw.

 

\[\begin{align*} k(5) = 0 \quad \Longrightarrow \quad \cos(c \cdot 5) &= 0 \\[0.8em] \Longrightarrow \quad c \cdot 5 &= -\frac{\pi}{2} & &| : 5 \\[0.8em] c &= \frac{\pi}{10} \end{align*}\]

 

Die Modellierung des Querschnitts der Tunnelwand unter Verwendung der Kosinusfunktion \(\displaystyle k \colon x \mapsto 5 \cdot \cos\left( \frac{\pi}{10} \cdot x \right)\) mit \(D_{k} = [-5;5]\) erfüllt Bedingung I (und Bedingung II).

 

Inhalt der Querschnittfläche des Tunnels

 

Flächeninhalt A des Flächenstücks, das der Graph der Funktion k mit c = π/10 mit der x-Achse einschließt.

Der Inhalt der Querschnittfläche des Tunnels entspricht dem Flächeninhalt \(A\) des Flächenstücks, das der Graph der Kosinusfunktion \(\displaystyle k \colon x \mapsto 5 \cdot \cos \left( \frac{\pi}{10} \cdot x \right); \; D_{k} = [-5;5]\) mit der \(x\)-Achse einschließt.

Das bestimmte Integral \(\displaystyle \int_{-5}^{5} k(x)\, dx\) errechnet die Maßzahl des Flächeninhalts \(A\).

\[A = \int_{-5}^{5} k(x)\, dx = K(5) - K(-5)\]

 

Stammfunktion \(K\) der Integrandenfunktion \(k\) bilden:

 

\[k(x) = 5 \cdot \cos\left( \frac{\pi}{10} \cdot x \right); \; D_{k} = [-5;5]\]

\[\begin{align*}K(x) &= 5 \cdot \frac{1}{\frac{\pi}{10}} \cdot \sin\left( \frac{\pi}{10} \cdot x \right) + C \\[0.8em] &= 5 \cdot \frac{10}{\pi} \cdot \sin\left( \frac{\pi}{10} \cdot x \right) + C \\[0.8em] &= \frac{50}{\pi} \cdot \sin\left( \frac{\pi}{10} \cdot x \right) + C \end{align*}\]

 

Die Funktion \(\displaystyle K \colon x \mapsto \frac{50}{\pi} \cdot \sin\left( \frac{\pi}{10} \cdot x \right)\) ist eine Stammfunktion der Integrandenfunktion \(k\) (für \(C = 0\)).

 

Flächeninhalt \(A\) berechnen:

 

\[\begin{align*} A &= \int_{-5}^{5} 5 \cdot \cos \left( \frac{\pi}{10} \cdot x \right) dx \\[0.8em] &= \left[ \frac{50}{\pi} \cdot \sin\left( \frac{\pi}{10} \cdot x \right)\ \right]_{-5}^{5} \\[0.8em] &= \frac{50}{\pi} \cdot \left[ \sin\left( \frac{\pi}{10} \cdot x \right)\ \right]_{-5}^{5} \\[0.8em] &= \frac{50}{\pi} \cdot \left[ \sin \left( \frac{10}{\pi} \cdot 5 \right) - \sin \left( \frac{\pi}{10} \cdot (-5) \right) \right] \\[0.8em] &= \frac{50}{\pi} \cdot \left[ \sin \left( \frac{\pi}{2} \right) - \sin \left( -\frac{\pi}{2} \right) \right] \\[0.8em] &= \frac{50}{\pi} \cdot \left( 1 - (-1) \right) \\[0.8em] &= \frac{100}{\pi} \end{align*}\]

 

Der Inhalt der Querschnittfläche des Tunnels beträgt \(\frac{\sf{100}}{\sf{\pi}}\,\sf{m}^{2}\).

Weitere Lösungen dieser Aufgabengruppe: « Teilaufgabe 1c Teilaufgabe 2b »