Teilaufgabe 2b

Zeigen Sie, dass Bedingung III weder bei der Modellierung mit \(p\) aus Aufgabe 1 noch bei einer Modellierung mit \(k\) erfüllt ist.

(2 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 2b

 

Funktionswerte im Sachzusammenhang bewerten

 

\[p(x) = -0{,}2x^{2} + 5; \; D_{p} = [-5;5]\]

\[k(x) = 5 \cdot \cos\left( \frac{\pi}{10} \cdot x \right); \; D_{k} = [-5;5]\]

 

Bedingung III:

Der Tunnel ist auf einer Breite von mindestens 6 m mindestens 4 m hoch.

 

Graph der Funktion p für x ∈ [-5;5], Punkte (-3|p(-3)) und (3|p(3))
Graph der Funktion k für x ∈ [-5;5], Punkte (-3|k(-3)) und (3|k(3))

Das Intervall \(x \in [-3;3]\) entspricht bei der Modellierung einer zum Mittelpunkt \(M\) des Tunnelbodens symmetrischen Breite von 6 m. Um zu bestätigen, dass Bedingung III weder bei einer Modellierung mit \(p\) noch bei einer Modellierung mit \(k\) erfüllt ist, überprüft man die Funktionswerte \(p(-3)\) und \(p(3)\) bzw. \(k(-3)\) und \(k(3)\).

Damit Bedingung III erfüllt ist, muss gelten:

 

\(p(x) \geq 4\) für \(x \in [-3;3]\)

bzw.

\(k(x) \geq 4\) für \(x \in [-3;3]\)

 

Aufgrund der Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse der Graphen der Funktionen \(p\) und \(k\) gilt \(p(-3) = p(3)\) bzw. \(k(-3) = k(3)\).

 

Nachweis der Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse von \(G_{p}\) und \(G_{k}\):

\[p(x) = -0{,}2x^{2} + 5; \; D_{p} = [-5;5]\]

\[k(x) = 5 \cdot \cos\left( \frac{\pi}{10} \cdot x \right); \; D_{k} = [-5;5]\]

 

\[p(-x) = -0{,}2 \cdot (-x)^{2} + 5 = -0{,}2x^{2} + 5 = p(x)\]

\[k(-x) = 5 \cdot \cos\left( \frac{\pi}{10} \cdot (-x) \right) = 5 \cdot \cos\left( \frac{\pi}{10} \cdot x \right) = k(x)\]

 

Funktionswerte \(p(-3)\) und \(p(3)\) bzw. \(k(-3)\) und \(k(3)\) berechnen:

 

\[p(-3) = p(3) = -0{,}2 \cdot 3^{2} + 5 = 3{,}2\]

\(\Longrightarrow \quad p(x) \geq 3{,}2\) für \(x \in [-3;3]\)

 

\[k(-3) = k(3) = 5 \cdot \cos\left( \frac{\pi}{10} \cdot 3 \right) \approx 2{,}94\]

\(\Longrightarrow \quad k(x) \geq 2{,}94\) für \(x \in [-3;3]\)

 

\(\Longrightarrow \quad\)Bedingung III ist weder bei einer Modellierung mit \(p\) noch bei einer Modellierung mit \(k\) erfüllt.

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