Teilaufgabe 3d

Der Tunnel soll durch einen Berg führen. Im betrachteten Querschnitt wird das Profil des Berghangs über dem Tunnel durch eine Gerade \(g\) mit der Gleichung \(y = -\frac{4}{3}x + 12\) modelliert.

Zeigen Sie, dass die Tangente \(t\) an den Graphen von \(f\) im Punkt \(R(4|f(4))\) parallel zu \(g\) verläuft. Zeichnen Sie \(g\) und \(t\) in das Koordinatensystem aus Aufgabe 3a ein.

(4 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 3d

 

Tangentensteigung, Parallelität zweier Geraden

 

\[g \colon y = -\frac{4}{3}x + 12\]

\[f(x) = \sqrt{25 - x^{2}}; \; D_{f} = [-5;5]\]

\[R(4|f(4))\]

 

Nachweis, dass die Tangente \(t\) parallel zu \(g\) verläuft

Die Tangente \(t\) an den Graphen der Funktion \(f\) im Punkt \(R(4|f(4))\) verläuft parallel zur Geraden \(g\), wenn die Tangentensteigung \(m_{t}\) gleich der Steigung \(m_{g}\) der Geraden \(g\) ist.

\[m_{t} = m_{g}\]

 

\[g \colon y = -\frac{4}{3}x + 12 \quad \Longrightarrow \quad m_{g} = -\frac{4}{3}\]

 

Steigung \(m_{t}\) der Tangente \(t\):

Die Ableitungsfunktion \(f'\) beschreibt die Steigung einer Tangente an den Graphen der Funktion \(f\).

\[m_{t} = f'(4)\]

 

Erste Ableitung \(f'\) bilden:

Die erste Ableitung \(f'\) der Funktion \(f\) kann mithilfe der Ableitung einer Wurzelfunktion bzw. der Ableitung einer Potenzfunktion sowie unter Berücksichtigung der Ketten- und der Summenregel gebildet werden.

Als Alternative formuliert man den Wurzelterm in der Porenschreibweise und leitet anschließend mithilfe der Ableitung einer Potenzfunktion sowie unter Berücksichtigung der Ketten- und der Summenregel ab. 

 

\[f(x) = \sqrt{25 - x^{2}}\]

\[\begin{align*} f'(x) &= \frac{-\cancel{2} \cdot x}{\cancel{2} \sqrt{25 - x^{2}}} \\[0.8em] &= -\frac{x}{\sqrt{25 - x^{2}}} \end{align*}\]

 

oder

 

\[\begin{align*}f(x) &= \sqrt{25 - x^{2}} & &| \; \sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}} \\[0.8em] &= \left( 25 - x^{2} \right)^{\frac{1}{2}} \end{align*}\]

\[\begin{align*} f'(x) &= \frac{1}{2} \cdot \left( 25 - x^{2} \right)^{-\frac{1}{2}} \cdot (-2x) & &| \; a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a}; \enspace a^{-n} = \frac{1}{a^{n}} \\[0.8em] &= \frac{-\cancel{2} \cdot x}{\cancel{2} \sqrt{25 - x^{2}}} \\[0.8em] &= -\frac{x}{\sqrt{25 - x^{2}}} \end{align*}\]

 

Tangentensteigung \(m_{t}\) berechnen:

 

\[f'(x) = -\frac{x}{\sqrt{25 - x^{2}}}\]

 

\[\begin{align*} m_{t} &= f'(4) \\[0.8em] &= - \frac{4}{\sqrt{25 - 4^{2}}} \\[0.8em] &= -\frac{4}{\sqrt{9}} \\[0.8em] &= -\frac{4}{3} \end{align*}\]

 

Steigungen \(m_{t}\) der Tangente \(t\) und \(m_{g}\) der Geraden \(g\) vergleichen:

 

\[m_{t} = -\frac{4}{3}; \enspace m_{g} = -\frac{4}{3}\]

 

\[\Longrightarrow \quad m_{t} = m_{g} \quad \Longrightarrow \quad t \parallel g\]

 

Einzeichen von \(g\) und \(t\) in das Koordinatensystem aus Teilaufgabe 3a

 

\[g \colon y = -\frac{4}{3}x + 12\]

\[f(x) = \sqrt{25 - x^{2}}; \; D_{f} = [-5;5]\]

\[R(4|f(4))\]

\[R \in t, \; t \parallel g\]

 

\[f(4) = \sqrt{25 - 4^{2}} = \sqrt{9} = 3\]

 

\[\Longrightarrow \quad R(4|3)\]

 

Graph der Funktion f, Gerade g und Tangente t an den Graphen der Funktion f in R(4|3) mit t || g

Graph der Funktion \(f \colon x \mapsto \sqrt{25 - x^{2}}; \; D_{f} = [-5;5]\), Gerade \(g \colon y = -\frac{4}{3}x + 12\) und Tangente \(t\) an \(G_{f}\) in \(R(4|3)\) mit \(t \parallel g\)

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