Teilaufgabe 3e
Lösung zu Teilaufgabe 3e
Gleichung einer Normalen, Schnittpunkt zweier Geraden, Abstand zweier Punkte
Der Punkt \(R\) ist derjenige Graphenpunkt von \(G_{f}\) (Tunnelwand), der zur Geraden \(g\) (Hangprofil) den kleinsten Abstand e hat. Die Normale \(n\) an \(G_{f}\) in Punkt \(R\) schneidet die Gerade \(g\) im Punkt \(S\) senkrecht, da \(t \parallel g\) gilt (vgl. Teilaufgabe 3d). Der kleinste Abstand \(e\) des Punktes \(R\) zur Geraden \(g\) ist gleich der Länge der Strecke \([RS]\).
1. Gleichung der Normalen \(n\) in \(R\) aufstellen
Aus Teilaufgabe 3a ist bekannt, dass der Graph der Funktion \(f\) ein Halbkreis mit dem Mittelpunkt \(M(0|0)\) ist.
Jede Normale in einem beliebigen Punkt eines Kreises verläuft radial, d.h. durch den Mittelpunkt des Kreises. Folglich ist die Normale \(n\) in Punkt \(R\) eine Ursprungsgerade.
Die Steigung \(m_{n}\) der Normalen \(n\) lässt sich entweder mithilfe der Steigung \(m_{t}\) der Tangente \(t\) aus Teilaufgabe 3b bestimmen oder anhand der Punkte \(R\) und \(M\).
\(M(0|0) \in n\), \(R(4|3) \in n\), \(m_{t} = -\frac{4}{3}\) (vgl. Teilaufgabe 3d)
\[m_{n} = -\frac{1}{f'(4)} = -\frac{1}{m_{t}}\]
oder
\[m_{n} = \frac{y_{R} - y_{M}}{x_{R} - x_{M}}\]
\[\Longrightarrow \quad n \colon y = m_{n} \cdot x\]
2. Schnittpunkt \(S\) der Normalen \(n\) und der Geraden \(g\) berechnen
Die Gleichung der Normalen \(n\) und die Gleichung der Geraden \(g\) bilden ein lineares Gleichungssystem. Für die Berechnung der \(x\)-Koordinate des Schnittpunkts \(S\) der Normalen \(n\) und der Geraden \(g\) werden die Funktionsterme der Gleichungen von \(n\) und \(g\) gleichgesetzt, und die entstehende Gleichung nach \(x\) aufgelöst.
\[\begin{align*} n \colon y &= m_{n} \cdot x \\[0.8em] \wedge \enspace g \colon y &= -\frac{4}{3}x + 12 \end{align*}\]
\[\Longrightarrow \quad n \cap g \colon m_{n} \cdot x = -\frac{4}{3}x + 12\]
\(\Longrightarrow \quad x_{S}\) und \(y_{S} = g(x_{S}) = n(x_{S})\)
\[\Longrightarrow \quad S(x_{S}|y_{S})\]
3. Kleinsten Abstand \(e\) berechnen
Der kleinste Abstand \(e\) der Tunnelwand vom Hangprofil entspricht dem Abstand \(d(R;g)\) des Punktes \(R\) von der Geraden \(g\) in Metern.
\[\begin{align*}e &= d(R;g) \\[0.8em] &= d(R;S) \\[0.8em] &= \overline{RS} \\[0.8em] &= \sqrt{(x_{S} - x_{R})^{2} + (y_{S} - y_{R})^{2}} \end{align*}\]
