Teilaufgabe a

In einem kartesischen Koordinatensystem legen die Punkte \(A(6|3|3)\), \(B(3|6|3)\) und \(C(3|3|6)\) das gleichseitige Dreieck \(ABC\) fest.

Ermitteln Sie eine Gleichung der Ebenen \(E\), in der das Dreieck \(ABC\) liegt, in Normalenform.

(mögliches Ergebnis: \(E \colon x_{1} + x_{2} + x_{3} - 12 = 0\))

(4 BE)

Lösung zu Teilaufgabe a

 

Ebenengleichung in Normalenform

 

Dreieck ABC, Verbindungsvektoren der Punkte A und B bzw. A und C, Ebene E, Normalenvektor der Ebene E

Das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) zweier linear unabhängiger Vektoren, beispielsweise der Verbindungsvektoren \(\overrightarrow{AB}\) und \(\overrightarrow{AC}\), liefert einen Normalenvektor \(\overrightarrow{n}_{E}\) der Ebene \(E\). Als Aufpunkt wählt man einen der gegebenen Punkte \(A\), \(B\) oder \(C\). Damit lässt sich eine Gleichung der Ebene in Normalenform angeben.

Der Ansatz kann mithilfe der Normalenform in Vektordarstellung oder in Koordinatendarstellung erfolgen. Die Aufgabenstellung nennt als mögliches Ergebnis eine Gleichung der Ebene \(E\) in Normalenform in Koordinatendarstellung.

Linear unabhängige Verbindungsvektoren \(\overrightarrow{AB}\) und \(\overrightarrow{AC}\) bestimmen:

 

\(A(6|3|3)\), \(B(3|6|3)\), \(C(3|3|6)\)

 

\[\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{B} - \overrightarrow{A} = \begin{pmatrix} 3 \\ 6 \\ 3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 6 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}\]

\[\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{C} - \overrightarrow{A} = \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ 6 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 6 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix}\]

 

Normalenvektor \(\overrightarrow{n}_{E}\) der Ebene \(E\) ermitteln:

\[\begin{align*} \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} &= \begin{pmatrix} -3 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} -3 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} \\[0.8em] &= \begin{pmatrix} 3 & \cdot & 3 & - & 0 & \cdot & 0 \\ 0 & \cdot & (-3) & - & (-3) & \cdot & 3 \\ (-3) & \cdot & 0 & - & 3 & \cdot & (-3) \end{pmatrix} \\[0.8em] &= \begin{pmatrix} 9 \\ 9 \\ 9 \end{pmatrix} \\[0.8em] &= 9 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{align*}\]

 

\[\Longrightarrow \quad \overrightarrow{n}_{E} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\]

 

Gleichung der Ebene \(E\) in Normalenform formulieren:

 

1. Möglichkeit: Ansatz mit der Normalenform in Vektordarstellung

Es sei \(A\) der Aufpunkt der Ebene \(E\).

 

\(\overrightarrow{n}_{E} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\), \(A(6|3|3)\)

 

\[E \colon \overrightarrow{n}_{E} \circ \left( \overrightarrow{X} - \overrightarrow{A} \right) = 0\]

\[E \colon \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \circ \left[ \overrightarrow{X} - \begin{pmatrix} 6 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix} \right] = 0\]

 

Ggf. wandelt man die Ebenengleichung in Normalenform in Vektordarstellung in die Koordinatendarstellung um. Hierfür wird das Skalarprodukt ausmultipliziert.

\[\begin{align*} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \circ \left[ \overrightarrow{X} - \begin{pmatrix} 6 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix} \right] &= 0 \\[0.8em] 1 \cdot (x_{1} - 6) + 1 \cdot (x_{2} - 3) + 1 \cdot (x_{3} - 3) &= 0 \\[0.8em] x_{1} + x_{2} + x_{3} - 12 &= 0 \end{align*}\]

 

\[\Longrightarrow \quad E \colon x_{1} + x_{2} + x_{3} - 12 = 0\]

 

2. Möglichkeit: Ansatz mit der Normalenform in Koordinatendarstellung

Es sei \(A\) der Aufpunkt der Ebene \(E\).

 

\(\overrightarrow{n}_{E} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\), \(A(6|3|3)\)

 

\[E \colon n_{1}x_{1} + n_{2}x_{2} + n_{3}x_{3} + n_{0} = 0\]

\[E \colon x_{1} + x_{2} + x_{3} + n_{0} = 0\]

 

\[\begin{align*}A \in E \colon 6 + 3 + 3 + n_{0} &= 0 \\[0.8em] 12 + n_{0} &= 0 & &| - 12 \\[0.8em] n_{0} &= -12 \end{align*}\]

 

\[\Longrightarrow \quad E \colon x_{1} + x_{2} + x_{3} - 12 = 0\]

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