Teilaufgabe c

Begründen Sie, dass das Viereck \(ABA'B'\) ein Quadrat mit der Seitenlänge \(3\sqrt{2}\) ist.

(4 BE)

Lösung zu Teilaufgabe c

 

Betrags eines Vektors, Orthogonalität zweier Vektoren

 

Quadrat ABCD mit Diagonalen e und f und Diagonalenschnittpunkt M

Merkmale eines Quadrats:

- Alle Seiten sind gleich lang. Dieses Merkmal gilt auch für eine Raute.

- Alle Innenwinkel betragen 90°. Dieses Merkmal gilt auch für ein Rechteck.

- Die Diagonalen \(e\) und \(f\) sind gleich lang und schneiden sich rechtwinklig im Mittelpunkt \(M\) der Diagonalen.

 

Das Viereck \(ABA'B'\) ist ein Quadrat mit der Seitenlänge \(3\sqrt{2}\), wenn beispielsweise

 

Veranschaulichung des Nachweises des Quadrats ABA'B' mithilfe von drei Seitenlängen und zwei rechten Winkeln

- drei Seiten die Länge \(3\sqrt{2}\) haben und die jeweils anliegenden Seiten einen rechten Winkel einschließen.

 

Veranschaulichung des Nachweises des Quadrats ABA'B' mithilfe der Diagonalen und einer Seitenlänge

- die Diagonalen \([AA']\) und \(BB'\) gleich lang sind und diese sich rechtwinklig im Mittelpunkt der Diagonalen schneiden, sowie eine Seite die Länge \(3\sqrt{2}\) hat.

 

Wählt man eine dieser Vorgehensweisen, müssen die Koordinaten der Bildpunkte \(A'\) und \(B'\) berechnet werden. Dies lässt sich umgehen, wenn man die besondere Lage des Punktes \(Z\) berücksichtigt.

 

Veranschaulichung des Nachweises des Quadrats ABA'B' unter Berücksichtigung der Lage des Punktes Z 

Da die Punkte \(A'\) und \(B'\) jeweils durch Spiegelung der Punkte \(A\) und \(B\) am Punkt \(Z\) hervorgehen, ist \(Z\) der Mittelpunkt der Diagonalen \([AA']\) und \(BB'\). Weist man nach, dass die Strecken \([ZA]\) und \(ZB\) gleich lang und senkrecht zueinander sind, folgt daraus, dass sich die gleichlangen Diagonalen \([AA']\) und \([BB']\) rechtwinklig in \(Z\) schneiden. Anschließend bestätigt man, dass \(\overline{AB} = 3\sqrt{2}\) gilt und schlussfolgert daraus, dass das Viereck \(ABA'B'\) ein Quadrat mit der Seitenlänge \(3\sqrt{2}\) ist.

 

1. Lösungsansatz: Berücksichtigung der Lage des Punktes \(Z\) (ohne Berechnung von \(A'\) und \(B'\))

 

Verbindungsvektoren berechnen:

 

Verbindungsvektoren der Punkte Z und A, Z und B sowie A und B

Für die Überprüfung der Längen der Strecken \([ZA]\), \([ZB]\) und \([AB]\) werden beispielsweise die Verbindungsvektoren \(\overrightarrow{ZA}\), \(\overrightarrow{ZB}\) und \(\overrightarrow{AB}\) berechnet. Außerdem wird die Orthogonalität der Vektoren \(\overrightarrow{ZA}\) und \(\overrightarrow{ZB}\) überprüft.

 

\(A(6|3|3)\), \(B(3|6|3)\), \(Z(3|3|3)\)

 

\[\overrightarrow{ZA} = \overrightarrow{A} - \overrightarrow{Z} = \begin{pmatrix} 6 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\]

\[\overrightarrow{ZB} = \overrightarrow{B} - \overrightarrow{Z} = \begin{pmatrix} 3 \\ 6 \\ 3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}\]

\[\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{B} - \overrightarrow{A} = \begin{pmatrix} 3 \\ 6 \\ 3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 6 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}\]

 

Längen der Strecken \([ZA]\), \([ZB]\) und \([AB]\) berechnen:

\(\overrightarrow{ZA} = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\), \(\overrightarrow{ZB} = \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}\), \(\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} -3 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}\)

 

\[\overline{ZA} = \vert \overrightarrow{ZA} \vert = \left| \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \right| = \sqrt{3^{2} + 0^{2} + 0^{2}} = 3\]

\[\overline{ZB} = \vert \overrightarrow{ZB} \vert = \left| \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} \right| = \sqrt{0^{2} + 3^{2} + 0^{2}} = 3\]

\[\overline{AB} = \vert \overrightarrow{AB} \vert = \left| \begin{pmatrix} -3 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} \right| = \sqrt{(-3)^{2} + 3^{2} + 0^{2}} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}\]

 

\[\Longrightarrow \quad \overline{ZA} = \overline{ZB} = 3 \quad \Longrightarrow \quad \overline{AA'} = \overline{BB'} = 6\]

 

Die Diagonalen \([AA']\) und \([BB']\) des Vierecks \(ABA'B'\) sind gleich lang.

 

Ortogonalität der Vektoren \(\overrightarrow{ZA}\) und \(\overrightarrow{ZB}\) prüfen:

\(\overrightarrow{ZA} = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\), \(\overrightarrow{ZB} = \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}\)

 

\[\overrightarrow{ZA} \circ \overrightarrow{ZB} = 0 \quad \Longleftrightarrow \quad \overrightarrow{ZA} \perp \overrightarrow{ZB}\]

\[\overrightarrow{ZA} \circ \overrightarrow{ZB} = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} = 3 \cdot 0 + 0 \cdot 3 + 0 \cdot 0 = 0\]

 

\[\Longrightarrow \quad \overrightarrow{ZA} \perp \overrightarrow{ZB} \quad \Longrightarrow \quad [AA'] \perp [BB']\]

 

Die Diagonalen \([AA']\) und \([BB']\) des Vierecks \(ABA'B'\) sind zueinander senkrecht.

 

Schlussfolgerung:

 

Veranschaulichung des Nachweises des Quadrats ABA'B' mithilfe der Diagonalen und einer Seitenlänge

 

\[\left. \begin{align*} &\overline{AA'} = \overline{BB'} \\[0.8em] &[AA'] \perp [BB'] \\[0.8em] &\overline{AB} = 3\sqrt{2} \end{align*} \right\} \enspace \Rightarrow \enspace \text{Quadrat}\; ABA'B' \; \text{mit Seitenlänge} \; 3\sqrt{2}\]

 

Das Viereck \(ABA'B'\) ist ein Quadrat mit der Seitenlänge \(3\sqrt{2}\).

 

2. Lösungsansatz: Drei gleich lange Seiten und Orthogonalität der anliegenden Seiten (mit Berechnung von \(A'\) und \(B'\))

 

Verbindungsvektoren der Punkte A und B, A und B' sowie B und A'

Um die Längen dreier Seiten sowie die Orthogonalität je zweier anliegender Seiten des Vierecks \(ABA'B'\) überprüfen zu können, werden beispielsweise die Verbindungsvektoren \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{AB'}\) und \(\overrightarrow{BA'}\) bestimmt.

Hierfür müssen zunächst die Koordinaten der Bildpunkte \(A'\) und \(B'\) berechnet werden.

 

Berechnung der Koordinaten der Bildpunkte \(A'\) und \(B'\):

 

Veranschaulichung der Berechnung der Bildpunkte A' und B' durch Vektoraddition

Der Bildpunkt \(A'\) bzw. \(B'\) geht durch Spiegelung des Punktes \(A\) bzw. \(B\) am Punkt \(Z\) hervor. Die Koordinaten der Ortsvektoren \(\overrightarrow{A'}\) bzw. \(\overrightarrow{B'}\) lassen sich durch Vektoraddition berechnen.

 

\(A(6|3|3)\), \(B(3|6|3)\), \(Z(3|3|3)\)

 

\[\begin{align*} \overrightarrow{A'} &= \overrightarrow{Z} + \overrightarrow{ZA'} & &| \; \overrightarrow{ZA'} = \overrightarrow{AZ} \\[0.8em] &= \overrightarrow{Z} + \overrightarrow{AZ} \\[0.8em] &= \overrightarrow{Z} + \overrightarrow{Z} - \overrightarrow{A} \\[0.8em] &= 2 \cdot \overrightarrow{Z} - \overrightarrow{A} \\[0.8em] &= 2 \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 6 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix} \\[0.8em] &= \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix} \end{align*}\]

 

\[\Longrightarrow \quad A'(0|3|3)\]

\[\begin{align*} \overrightarrow{B'} &= \overrightarrow{Z} + \overrightarrow{ZB'} & &| \; \overrightarrow{ZB'} = \overrightarrow{BZ} \\[0.8em] &= \overrightarrow{Z} + \overrightarrow{BZ} \\[0.8em] &= \overrightarrow{Z} + \overrightarrow{Z} - \overrightarrow{B} \\[0.8em] &= 2 \cdot \overrightarrow{Z} - \overrightarrow{B} \\[0.8em] &= 2 \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 3 \\ 6 \\ 3 \end{pmatrix} \\[0.8em] &= \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} \end{align*}\]

 

\[\Longrightarrow \quad B'(3|0|3)\]

 

oder

Veranschaulichung der Berechnung der Bildpunkte A' und B' durch Vektoraddition

 

\[\begin{align*} \overrightarrow{A'} &= \overrightarrow{A} + 2 \cdot \overrightarrow{AZ} \\[0.8em] &= \overrightarrow{A} + 2 \cdot \left( \overrightarrow{Z} - \overrightarrow{A} \right) \\[0.8em] &= \overrightarrow{A} + 2 \cdot \overrightarrow{Z} - 2 \cdot \overrightarrow{A} \\[0.8em] &= 2 \cdot \overrightarrow{Z} - \overrightarrow{A} \\[0.8em] &= 2 \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 6 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix} \\[0.8em] &= \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix} \end{align*}\]

 

\[\Longrightarrow \quad A'(0|3|3)\]

\[\begin{align*} \overrightarrow{B'} &= \overrightarrow{B} + 2 \cdot \overrightarrow{BZ} \\[0.8em] &= \overrightarrow{B} + 2 \cdot \left( \overrightarrow{Z} - \overrightarrow{B} \right) \\[0.8em] &= \overrightarrow{B} + 2 \cdot \overrightarrow{Z} - 2 \cdot \overrightarrow{B} \\[0.8em] &= 2 \cdot \overrightarrow{Z} - \overrightarrow{B} \\[0.8em] &= 2 \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 3 \\ 6 \\ 3 \end{pmatrix} \\[0.8em] &= \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} \end{align*}\]

 

\[\Longrightarrow \quad B'(3|0|3)\]

 

Verbindungsvektoren \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{AB'}\) und \(\overrightarrow{BA'}\) berechnen:

 

\(A(6|3|3)\), \(B(3|6|3)\), \(A'(0|3|3)\), \(B'(3|0|3)\)

 

\[\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{B} - \overrightarrow{A} = \begin{pmatrix} 3 \\ 6 \\ 3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 6 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}\]

\[\overrightarrow{AB'} = \overrightarrow{B'} - \overrightarrow{A} = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 6 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ -3 \\ 0 \end{pmatrix}\]

\[\overrightarrow{BA'} = \overrightarrow{A'} - \overrightarrow{B} = \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 3 \\ 6 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ -3 \\ 0 \end{pmatrix}\]

 

\[\Longrightarrow \quad \overrightarrow{AB'} = \overrightarrow{BA'}\]

 

Längen der Strecken \([AB]\), \([AB']\) und \([BA']\) berechnen:

\(\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} -3 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}\), \(\overrightarrow{AB'} = \begin{pmatrix} -3 \\ -3 \\ 0 \end{pmatrix}\), \(\overrightarrow{BA'} = \begin{pmatrix} -3 \\ -3 \\ 0 \end{pmatrix}\)

 

\[\overline{AB} = \vert \overrightarrow{AB} \vert = \left| \begin{pmatrix} -3 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} \right| = \sqrt{(-3)^{2} + 3^{2} + 0^{2}} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}\]

\[\begin{align*}\overline{AB'} = \overline{BA'} &= \vert \overrightarrow{BA'} \vert \\[0.8em] &= \left| \begin{pmatrix} -3 \\ -3 \\ 0 \end{pmatrix} \right| \\[0.8em] &= \sqrt{(-3)^{2} + (-3)^{2} + 0^{2}} \\[0.8em] &= \sqrt{18} \\[0.8em] &= 3\sqrt{2} \end{align*}\]

 

\[\Longrightarrow \overline{AB} = \overline{AB'} = \overline{BA'} = 3\sqrt{2}\]

 

Die Seiten \([AB]\), \([AB']\) und \([BA']\) des Vierecks \(ABA'B'\) sind gleich lang.

 

Ortogonalität der Vektoren \(\overrightarrow{AB}\) und \(\overrightarrow{AB'}\) sowie \(\overrightarrow{AB}\) und \(\overrightarrow{BA'}\) prüfen:

\(\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} -3 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}\), \(\overrightarrow{AB'} = \overrightarrow{BA'} = \begin{pmatrix} -3 \\ -3 \\ 0 \end{pmatrix}\)

 

Verbindungsvektoren der Punkte A und B, A und B' sowie B und A'

Da \(\overrightarrow{AB'} = \overrightarrow{BA'}\) gilt, reicht es aus, die Orthogonalität der Vektoren \(\overrightarrow{AB}\) und \(\overrightarrow{AB'}\) zu prüfen.

 

\[\overrightarrow{AB} \circ \overrightarrow{AB'} = 0 \quad \Longleftrightarrow \quad \overrightarrow{AB} \perp \overrightarrow{AB'}\]

\[\begin{align*}\overrightarrow{AB} \circ \overrightarrow{AB'} &= \begin{pmatrix} -3 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} -3 \\ -3 \\ 0 \end{pmatrix} \\[0.8em] &= (-3) \cdot (-3) + 3 \cdot (-3) + 0 \cdot 0 \\[0.8em] &= 0 \end{align*}\]

 

\[\Longrightarrow \quad \overrightarrow{AB} \perp \overrightarrow{AB'} \quad \Longrightarrow \quad [AB] \perp [AB'], \, [AB] \perp [BA']\]

 

Die Seiten \([AB]\) und \([AB']\) sowie \([AB]\) und \([BA']\) des Vierecks \(ABA'B'\) sind zueinander senkrecht.

 

Schlussfolgerung:

 

Verbindungsvektoren der Punkte A und B, A und B' sowie B und A'

 

\[\left. \begin{align*} &\overline{AB} = \overline{AB'} = \overline{BA'} = 3\sqrt{2} \\[0.8em] &[AB] \perp [AB'], \, [AB] \perp [BA'] \end{align*} \right\} \enspace \Rightarrow \enspace \text{Quadrat}\; ABA'B' \; \text{mit Seitenlänge} \; 3\sqrt{2}\]

 

Das Viereck \(ABA'B'\) ist ein Quadrat mit der Seitenlänge \(3\sqrt{2}\).

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