Teilaufgabe d

Der Körper \(ABA'B'CC'\) ist ein sogenanntes Oktaeder. Er besteht aus zwei Pyramiden mit dem Quadrat \(ABA'B'\) als gemeinsamer Grundfläche und den Pyramidenspitzen \(C\) bzw. \(C'\).

Abbildung zu Teilaufgabe d - Geometrie 1 - Prüfungsteil B - Mathematik Abitur Bayern 2016

Weisen Sie nach, dass das Oktaeder das Volumen 36 besitzt.

(2 BE)

Lösung zu Teilaufgabe d

 

Volumen einer Pyramide, Spatprodukt anwenden

 

1. Lösungsansatz: \(V = \frac{1}{3} \cdot G \cdot h\)

\[\begin{align*}V_{\text{Oktaeder}} &= 2 \cdot V_{\text{Pyramide}} \\[0.8em] V_{ABA'B'CC'} &= 2 \cdot V_{ABA'B'C} \\[0.8em] &= 2 \cdot \frac{1}{3} \cdot A_{ABA'B'} \cdot h \end{align*}\]

 

Aus Teilaufgabe c ist bekannt:

Das Viereck \(ABA'B'\) ist ein Quadrat mit der Seitenlänge \(3\sqrt{2}\).

 

Höhe \(h\) der Pyramide \(ABA'B'C\):

 

Oktaeder ABA'B'CC', Pyramide ABA'B'C mit Höhe h und Ebene, in der die Punkte A, B und Z liegen

Oktaeder \(ABA'B'CC'\) und Pyramide \(ABA'B'C\) mit Höhe \(h\) sowie die Ebene, in der die Punkte \(A\), \(B\) und \(Z\) liegen

 

Aus Teilaufgabe b ist bekannt, dass die Ebene, in der die Punkte \(A\), \(B\) und \(Z\) liegen, im Abstand 3 LE (Längeneinheiten) parallel zur \(x_{1}x_{2}\)-Ebene verläuft, und dass die Strecke \([CC']\) senkrecht auf dieser Ebene steht.

Folglich beschreibt die Länge der Strecke \([CZ]\) die Höhe \(h\) der Pyramide \(ABA'B'C\).

 

Höhe \(h\) der Pyramide \(ABA'B'C\) berechnen:

 

\(C(3|3|6)\), \(Z(3|3|3)\)

\[\begin{align*}h &= \overline{CZ} \\[0.8em] &= \vert \overrightarrow{CZ} \vert \\[0.8em] &= \vert \overrightarrow{Z} - \overrightarrow{C} \vert \\[0.8em] &= \left| \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ 6 \end{pmatrix} \right| \\[0.8em] &= \left| \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -3 \end{pmatrix} \right| \\[0.8em] &= \sqrt{0^{2} + 0^{2} + (-3)^{2}} \\[0.8em] &= 3 \end{align*}\]

 

Die Höhe \(h\) der Pyramide \(ABA'B'C\) beträgt 3 LE.

 

Volumen des Oktaeders \(ABA'B'CC'\) berechnen:

 

\[\begin{align*}V_{ABA'B'CC'} &= 2 \cdot V_{ABA'B'C} \\[0.8em] &= 2 \cdot \frac{1}{3} \cdot A_{ABA'B'} \cdot h \\[0.8em] &= 2 \cdot \frac{1}{\cancel{3}} \cdot \left( 3\sqrt{2} \right)^{2} \cdot \cancel{3} \\[0.8em] &= 2 \cdot 18 \\[0.8em] &= 36 \end{align*}\]

 

Der Volumeninhalt des Oktaeders \(ABA'B'CC'\) beträgt 36 VE (Volumeneinheiten). 

 

2. Lösungsansatz: Spatprodukt anwenden

 

Ohne Berücksichtigung der Ergebnisse aus den Teilaufgaben b,c kann das Volumen des Oktaeders \(ABA'B'CC'\) berechnet werden, indem man das Spatprodukt anwendet.

 

Oktaeder ABA'B'CC', Pyramide ABZC, Verbindungsvektoren der Punkte A und B, A und Z sowie A und C

Oktaeder \(ABA'B'CC'\) und Pyramide \(ABZC\) sowie die drei linear unabhängigen Verbindungsvektoren \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{AZ}\) und \(\overrightarrow{AC}\)

 

Aus Teilaufgabe c ist bekannt:

Das Viereck \(ABA'B'\) ist ein Quadrat.

Daher beträgt der Volumeninhalt der Pyramide \(ABZC\) ein Viertel des Volumeninhalts der Pyramide \(ABA'B'C\) und somit ein Achtel des Volumeninhalts des Oktaeders \(ABA'B'CC'\).

 

\[V_{ABA'B'CC'} = 8 \cdot V_{ABZC}\]

 

Der Volumeninhalt der Pyramide \(ABZC\) lässt sich mithilfe des Spatprodukts berechnen. Hierfür wählt man beispielsweise die drei linear unabhängigen Verbindungsvektoren \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{AZ}\) und \(\overrightarrow{AC}\).

\[V_{ABZC} = \frac{1}{6} \cdot \left| \overrightarrow{AC} \circ \left( \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AZ} \right) \right|\]

 

Verbindungsvektoren berechnen (soweit nicht bereits aus Teilaufgabe a bekannt):

 

\(A(6|3|3)\), \(B(3|6|3)\), \(C(3|3|6)\), \(Z(3|3|3)\)

 

\[\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{B} - \overrightarrow{A} = \begin{pmatrix} 3 \\ 6 \\ 3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 6 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}\]

\[\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{C} - \overrightarrow{A} = \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ 6 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 6 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix}\]

\[\overrightarrow{AZ} = \overrightarrow{Z} - \overrightarrow{A} = \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 6 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\]

 

Volumen des Oktaeders \(ABA'B'CC'\) berechnen:

\[\begin{align*}V_{ABA'B'CC'} &= 8 \cdot V_{ABZC} \\[0.8em] &= 8 \cdot \frac{1}{6} \cdot \left| \overrightarrow{AC} \circ \left( \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AZ} \right) \right| \\[0.8em] &= \frac{4}{3} \cdot \left| \begin{pmatrix} -3 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} \circ \left[ \begin{pmatrix} -3 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} -3 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \right] \right| \\[0.8em] &= \frac{4}{3} \cdot \left| \begin{pmatrix} -3 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 3 & \cdot & 0 & - & 0 & \cdot & 0 \\ 0 & \cdot & (-3) & - & (-3) & \cdot & 0 \\ (-3) & \cdot & 0 & - & 3 & \cdot & (-3) \end{pmatrix} \right| \\[0.8em] &= \frac{4}{3} \cdot \left| \begin{pmatrix} -3 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 9 \end{pmatrix} \right| \\[0.8em] &= \frac{4}{3} \cdot \vert (-3) \cdot 0 + 0 \cdot 0 + 3 \cdot 9 \vert \\[0.8em] &= \frac{4}{3} \cdot 27 \\[0.8em] &= 36 \end{align*}\]

 

Der Volumeninhalt des Oktaeders \(ABA'B'CC'\) beträgt 36 VE (Volumeneinheiten).

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