Teilaufgabe c

Im Zielpunkt ist die Kamera zunächst senkrecht nach unten orientiert. Um die Position des Balls anzuvisieren, die im Modell durch den Punkt \(B(40|105|0)\) beschrieben wird, muss die Kamera gedreht werden.

Berechnen Sie die Größe des erforderlichen Drehwinkels. 

(4 BE)

Lösung zu Teilaufgabe c

 

Winkel zwischen zwei Vektoren

 

Spielfeld mit Position K₂ der Kamera und Position B des Balls sowie Drehwinkel der Kamera

Spielfeld mit Position \(K_{2}\) der Kamera und Position \(B\) des Balls sowie Drehwinkel der Kamera

 

Winkel α zwischen dem Verbindungsvektor der Punkte K₂ und B und einem Normalenvektor der x₁x₂-Ebene, der die Blickrichtung der Kamera repräsentiert.

Der Drehwinkel der Kamera entspricht dem Winkel zwischen dem Verbindungsvektor \(\overrightarrow{K_{2}B}\) und einem Normalenvektor \(\overrightarrow{n}\) der \(x_{1}x_{2}\)-Ebene, welcher die ursprünglich senkrecht nach unten orientierte Kamera repräsentiert.

Normalenvektor \(\overrightarrow{n}\) der \(x_{1}x_{2}\)-Ebene festlegen:

Ein geeigneter Normalenvektor, der die senkrecht nach unten orientierte Kamera beschreibt, ist beispielsweise der Normalenvektor \(\overrightarrow{n} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}\).

 

Verbindungsvektor \(\overrightarrow{K_{2}B}\) bestimmen:

 

\(B(40|105|0)\), \(K_{2}(51|100|10)\) (vgl. Teilaufgabe b)

 

\[\overrightarrow{K_{2}B} = \overrightarrow{B} - \overrightarrow{K_{2}} = \begin{pmatrix} 40 \\ 105 \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 51 \\ 100 \\ 10 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -11 \\ 5 \\ -10 \end{pmatrix}\]

 

Winkel \(\alpha\) zwischen den Vektoren \(\overrightarrow{K_{2}B}\) und \(\overrightarrow{n}\) berechnen:

\[\begin{align*} \cos \alpha &= \frac{\overrightarrow{K_{2}B} \circ \overrightarrow{n}}{\Big| \overrightarrow{K_{2}B} \Big| \cdot \left| \overrightarrow{n} \right|} \\[0.8em] &= \frac{\begin{pmatrix} -11 \\ 5 \\ -10 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}}{\left| \begin{pmatrix} -11 \\ 5 \\ -10 \end{pmatrix} \right| \cdot \left| \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} \right|} \\[0.8em] &= \frac{(-11) \cdot 0 + 5 \cdot 0 + (-10) \cdot (-1)}{\sqrt{(-11)^{2} + 5^{2} + (-10)^{2}} \cdot \sqrt{0^{2} + 0^{2} (-1)^{2}}} \\[0.8em] &= \frac{10}{\sqrt{246}} & &| \; \text{TR:} \; \tan^{-1}(\dots) \\[3.2em] \alpha &\approx 50{,}39^{\circ} \end{align*}\]

 

Um die Position des Balls anzuvisieren, muss die Kamera um ca. 50,39° gedreht werden.

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