Teilaufgabe 1b

Es werden mehrere Flaschen geöffnet und für jede dieser Flaschen wird festgestellt, ob das Ereignis \(A\) eintritt. Begründen Sie, dass dieses Zufallsexperiment näherungsweise durch eine Bernoullikette beschrieben werden kann.

(2 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 1b

 

Bernoullikette, Bernoulli-Experiment

 

\(A\): „Der Verschluss enthält eine Gewinnmarke."

Das beschriebene Zufallsexperiment entspricht grundsätzlich dem Urnenmodell „Ziehen ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge". Mit jedem Öffnen einer Flasche verändert sich die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Ereignis \(A\) eintritt, da sich die Anzahl der (ungeöffneten) Flaschen, deren Verschluss eine Gewinnmarke enthalten kann, verändert. Auf die Reihenfolge des Eintreten des Ereignisses \(A\) wird nicht geachtet.

Laut Angabe werden mehrere Flaschen geöffnet. Die Formulierung lässt darauf schließen, dass im Vergleich zu den zwei Millionen Flaschen der Werbeaktion relativ wenige Flaschen geöffnet werden. Damit verändert sich die Wahrscheinlichkeit \(P(A)\) nur geringfügig, sodass näherungsweise angenommen werden kann, dass \(P(A)\) konstant ist. Zudem werden nur die beiden sich ausschließenden Ereignisse \(A\) und \(\overline{A}\) betrachtet. Ob sich im Verschluss einer geöffneten Flasche eine Gewinnmarke befindet oder nicht, ist unabhängig davon, ob sich im Verschluss einer zuvor geöffnete Flasche eine Gewinnmarke befand oder nicht.

Die Ereignisse \(A\) und \(\overline{A}\) treten also unabhängig und näherungsweise mit konstanter Wahrscheinlichkeit ein. Folglich kann das Zufallsexperiment näherungsweise als Bernoullikette beschrieben werden.

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