Teilaufgabe 1c

Im Folgenden gilt beim Öffnen einer Flasche steht \(P(A) = 0{,}05\) und \(P(B) = 0{,}044\).

Es werden nacheinander zehn Flaschen geöffnet. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich erstmals in der fünften Flasche eine Gewinnmarke befindet. 

(2 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 1c

 

Wahrscheinlichkeitsrechnung

 

\(A\): „Der Verschluss enthält eine Gewinnmarke."

\(\overline{A}\): „Der Verschluss enthält keine Gewinnmarke."

 

\(E\): „Erstmals in der fünften Flasche befindet sich eine Gewinnmarke."

 

Das Ereignis „Erstmals in der fünften Flasche eine Gewinnmarke" bedeutet, dass der Verschluss der ersten vier geöffneten Flaschen keine Gewinnmarke enthält und der Verschluss der fünften geöffneten Flasche eine Gewinnmarke enthält. Im Verschluss der restlichen fünf von den insgesamt zehn geöffneten Flaschen kann sich ein Gewinnmarke befinden oder auch nicht. Darüber sagt die Aufgabenstellung nichts aus, sodass die restlichen fünf Flaschen für die Berechnung der Wahrscheinlichkeit nicht von Bedeutung sind.

 

\[P(A) = 0{,}05\]

\(P(\overline{A}) = 1 - P(A) = 1 - 0{,}05 = 0{,}95\)

 

\[P(E) = \left[P(\overline{A})\right]^{4} \cdot P(A) = 0{,}95^{4} \cdot 0{,}05 \approx 0{,}041 = 4{,}1\,\%\]

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