Teilaufgabe 1d

Bestimmen Sie unter Zuhilfenahme des Tafelwerks, wie viele Flaschen man mindestens öffnen muss, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als 5 % mindestens zwei Gewinnmarken zu finden.

(4 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 1d

 

Binomialverteilung, Binomialverteilte Zufallsgröße

 

\(A\): „Der Verschluss enthält eine Gewinnmarke."

\[P(A) = 0{,}05\]

 

Zufallsgröße \(X\): Anzahl der Flaschen, deren Verschluss eine Gewinnmarke enthält.

 

Analyse der Angabe:

 

„... wieviele Flaschen man mindestens öffnen muss ..."

\(\Longrightarrow \quad\)Gesucht ist die kleinstmögliche Anzahl \(n\) zu öffnender Flaschen (Länge der Bernoullikette).

 

„... mindestens zwei Gewinnmarken ..."

\[\Longrightarrow \quad X \geq 2\]

 

„... um mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als 5 % mindestens zwei Gewinnmarken zu finden."

\[\Longrightarrow \quad P_{0{,}05}^{n}(X \geq 2) > 0{,}05\]

 

Betrachten des Gegenereignisses:

Um mit dem Stochastischen Tafelwerk arbeiten zu können, wird die Wahrscheinlichkeit \(P_{0{,}05}^{n}(X \geq 2)\) auf die kumulative Verteilungsfunktion zurückgeführt.

Dies erreicht man, indem man das Gegenereignis zum Ereignis „Mindestens zwei Gewinnmarken" betrachtet. Das Gegenereignis lautet: „Höchstens eine Gewinnmarke".

\[\begin{align*}P_{0{,}05}^{n}(X \geq 2) &> 0{,}05 & &| \; \text{Gegenereignis betrachten} \\[0.8em] 1 - P_{0{,}05}^{n}(X \leq 1) &> 0{,}05 & &| - 1 \\[0.8em] -P_{0{,}05}^{n}(X \leq 1) &> -0{,}95 & &| \cdot (-1) \enspace \text{Relationszeichen dreht!} \\[0.8em] P_{0{,}05}^{n}(X \leq 1) &< 0{,}95 \end{align*}\]

 

Stochastisches Tafelwerk (ST) verwenden:

Für die Trefferwahscheinlichkeit \(p = 0{,}05\) sucht man diejenige Tabelle der Länge der Bernoullikette \(n\), deren Eintrag in der rechten Spalte (kumulative Verteilungsfunktion) möglichst nahe an den Wert \(0{,}95\) heranreicht.

\[P_{0{,}05}^{n}(X \leq 1) < 0{,}95 \quad \overset{\text{ST}}{\Longrightarrow} \quad n = 8 \enspace \left( P_{0{,}05}^{8}(X \leq 1) = 0{,}94276 \right)\]

 

Zum Vergleich:

 

\[n = 9 \quad \overset{\text{ST}}{\Longrightarrow} \quad P_{0{,}05}^{9}(X \leq 1) = 0{,}92879\]

\(\Longrightarrow \quad\)Bedingung \(P_{0{,}05}^{n}(X \leq 1) < 0{,}95\) übererfüllt

 

\[n = 7 \quad \overset{\text{ST}}{\Longrightarrow} \quad P_{0{,}05}^{7}(X \leq 1) = 0{,}95562\]

\(\Longrightarrow \quad\)Bedingung \(P_{0{,}05}^{n}(X \leq 1) < 0{,}95\) nicht erfüllt

 

Es müssen mindestens acht Flaschen geöffnet werden, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als 5 % mindestens zwei Gewinnmarken zu finden.

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