Teilaufgabe 1e

Berechnen Sie den Gesamtwert der Gewinnmarken, die Kunden beim Öffnen der 20 Flaschen eines Kastens im Mittel in den Verschlüssen finden.

(3 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 1e

 

Erwartungswert einer Zufallsgröße

 

Der Gesamtwert der Gewinnmarken, die Kunden beim Öffnen der 20 Flaschen eines Kastens im Mittel in den Verschlüssen finden, ist gleich dem zwanzigfachen des im Mittel zu erwartenden Werts einer Gewinnmarke, die pro geöffneter Flasche im Verschluss zu finden ist.

Gesucht ist also der Erwartungswert des Werts der Gewinnmarken beim Öffnen der 20 Flaschen eines Kastens.

Das Öffnen der 20 Flaschen wird als Zufallsexperiment betrachtet, bei dem die folgenden Ereignisse unterschieden werden (in Anlehnung an die Benennung der Ereignisse aus Teilaufgabe 1a):

 

\(\overline{A}\): „Der Verschluss enthält keine Gewinnmarke."

\(B\): „Der Verschluss enthält eine Gewinnmarke im Wert von 1 €."

\(C\): „Der Verschluss enthält eine Gewinnmarke im Wert von 5 €."

 

Es sei \(G\) die Zufallsgröße, die dem Öffnen einer Flasche den Gewinn im Verschluss in Euro zuordnet. Die Zufallsgröße \(G\) kann also die Werte \(g_{1} = 0\), \(g_{2} = 1\) und \(g_{3} = 5\) annehmen.

 

Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße \(G\):

 

Aus Teilaufgabe 1a bzw. 1c ist bekannt:

 

\(P(A) = 0{,}05\), \(P(B) = 0{,}044\)

 

\[P(\overline{A}) = 1- P(A) = 1 - 0{,}05 = 0{,}95 \]

\[\Longrightarrow \quad P(G = 0) = 0{,}95\]

 

\[P(B) = 0{,}044 \quad \Longrightarrow \quad P(G = 1) = 0{,}044\]

 

Die Summe der Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse \(\overline{A}\), \(B\) und \(C\) ist gleich Eins.

 

\[\begin{align*}P(\overline{A}) + P(B) + P(C) &= 1 \\[0.8em] P(C) &= 1 - P(\overline{A}) - P(B) \\[0.8em] &= 1 - 0{,}95 - 0{,}044 \\[0.8em] &= 0{,}006 \end{align*}\]

\[\Longrightarrow \quad P(G = 5) = 0{,}006\]

 

Ereignis \(\overline{A}\) \(B\) \(C\)
\(G = g_{i}\) \(0\) \(1\) \(5\)
\(P(G = g_{i})\) \(0{,}95\) \(0{,}044\) \(0{,}006\)

Verteilungstabelle der Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße \(G\)

 

Erwartungswert der Zufallsgröße \(G\):

\[\begin{align*}E(G) &= g_{1} \cdot P(G = g_{1}) + g_{2} \cdot P(G = g_{2}) + g_{3} \cdot P(G = g_{3}) \\[0.8em] &= 0 \cdot 0{,}95 + 1 \cdot 0{,}044 + 5 \cdot 0{,}006 \\[0.8em] &= 0{,}074 \end{align*}\]

 

Im Mittel beträgt der Gewinn im Verschluss pro geöffneter Flasche 0,074 Euro.

 

Zu erwartender mittlerer Gewinn bei 20 geöffneten Flaschen:

Die Wahrscheinlichkeiten für die im Verschluss enthaltenen Gewinne sind für alle 20 Flaschen gleich.

 

\[20 \cdot E(G) = 20 \cdot 0{,}074 = 1{,}48\]

 

Beim Öffnen der 20 Flaschen eines Kastens beträgt der Gesamtwert der Gewinnmarken, die Kunden in den Verschlüssen finden, im Mittel 1,48 Euro.

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