Teilaufgabe 2

Nachdem die zwei Millionen Flaschen verkauft sind, wird die Werbeaktion fortgesetzt. Der Getränkehersteller verspricht, dass weiterhin jede 20. Flasche eine Gewinnmarke enthält. Aufgrund von Kundenäußerungen vermutet der Filialleiter eines Getränkemarkts jedoch, dass der Anteil der Saftschorle-Flaschen mit einer Gewinnmarke im Verschluss nun geringer als 0,05 ist, und beschwert sich beim Getränkehersteller.

Der Getränkehersteller bietet ihm an, anhand von 200 zufällig ausgewählten Flaschen einen Signifikanztest für die Nullhypothese „Die Wahrscheinlichkeit dafür, in einer Flasche eine Gewinnmarke zu finden, beträgt mindestens 0,05." auf einem Signifikanzniveau von 1 % durchzuführen. Für den Fall, dass das Ergebnis des Tests im Ablehnungsbereich der Nullhypothese liegt, verspricht der Getränkehersteller, seine Abfüllanlage zu überprüfen und die Kosten für eine Sonderwerbeaktion des Getränkemarkts zu übernehmen.

Ermitteln Sie den Ablehnungsbereich der Nullhypothese und bestimmen Sie anschließend unter der Annahme, dass im Mittel nur 3 % der Saftschorle-Flaschen eine Gewinnmarke enthalten, die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Getränkemarkt nicht in den Genuss einer kostenlosen Sonderwerbeaktion kommt.

(7 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 2

 

Einseitiger Signifikanztest, Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art

 

Ablehnungsbereich der Nullhypothese

Der Ablehnungsbereich der Nullhypothese wird mithilfe eines Signifikanztests ermittelt. Ein Signifikanztest gibt der Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art (Nullhypothese wird irrtümlich abgelehnt) eine Obergrenze vor (Signifikanzniveau). Unter dieser Bedingung können die Grenzen, die den Annahmebereich vom Ablehnungsbereich der Nullhypothese trennen, mithilfe des Stochastischen Tafelwerks bestimmt werden.

Anmerkung:

Für die Bearbeitung einer Aufgabe zum Thema Signifikanztest ist die Unterscheidung nach linksseitigem und rechtsseitigem Signifikanztest nicht erforderlich. Entscheidend ist die Bedeutung der Testgröße \(X\) (Zufallsgröße) sowie die Festlegung der Nullhypothese und des Ablehnungsbereichs der Nullhypothese. Wie die Nullhypothese lautet, ergibt sich aus der Aufgabenstellung. Die Art der Nullhypothese lässt auf den Ablehnungsbereich der Nullhypothese schließen.

 

Analyse der Angabe:

 

„... anhand von 200 zufällig ausgewählten Flaschen ..."

\(\Longrightarrow \quad n = 200\) (Stichprobenumfang)

 

„... für die Nullhypothese „Die Wahrscheinlichkeit dafür, in einer Flasche eine Gewinnmarke zu finden, beträgt mindestens 0,05."

\[H_{0} \colon p \geq 0{,}05\]

 

„... auf einem Signifikanzniveau von 1 % durchzuführen."

\[\alpha = 0{,}01\]

 

Zufallsgröße \(X\) (Testgröße) beschreiben:

Bei einem Stichprobenumfang von 200 zufällig ausgewählten Flaschen wird auf das Ereignis „Der Verschluss enthält eine Gewinnmarke." geachtet (vgl. Ereignis \(A\) aus Teilaufgabe 1a). Die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis \(A\) ist gemäß der Nullhypothese mit \(p_{0}\) konstant.

Zufallsgröße \(X\): Anzahl der Flaschen, deren Verschluss eine Gewinnmarke enthält.

Die Zufallsgröße \(X\) ist nach \(B(200;p_{0})\) binomialverteilt.

 

Nullhypothese (und Gegenhypothese) festlegen:

Die Angabe gibt die Nullhypothese vor (vgl. Analyse der Angabe). Die Gegenhypothese ergibt sich daraus.

 

\[H_{0} \colon p \geq 0{,}05 \qquad H_{1} \colon p < 0{,}05\]

 

(Annahme und) Ablehnungsbereich der Nullhypothese formulieren:

Der Annahme- und Ablehnungsbereich der Nullhypothese lässt sich durch die Vergabe zunächst noch unbekannter Grenzen \(k\) und \(k + 1\) vorformulieren. Zusammen bilden beide Bereiche alle Werte \(x_{i} \in \{0,1, \dots, 200\}\) ab, welche die Zufallsgröße \(X\) annehmen kann.

Die Nullhypothese „Die Wahrscheinlichkeit dafür, in einer Flasche eine Gewinnmarke zu finden, beträgt mindestens 0,05" \((H_{0} \colon p \geq 0{,}05)\) wird abgelehnt, wenn unter den 200 geöffneten Flaschen tendenziell wenige Flaschen sind, deren Verschluss eine Gewinnmarke enthält (\(0\) bis \(k\) Flaschen).

 

\[\overline{A} = \{0, 1, \dots, k\} \qquad A = \{k + 1, \dots, 200\}\]

 

Signifikanztest formulieren, d.h. Bedingung für den Fehler 1. Art formulieren:

Anmerkung:

Da der Ablehnungsbereich \(\overline{A} = \{0, 1, \dots, k\}\) links vom Erwartungswert \(\mu = 10\) der nach \(B(200;0{,}05)\) binomialverteilten Zufallsgröße \(X\) liegt, handelt es sich um einen linksseitigen Signifikanztest.

Fehler 1. Art: Die Nullhypothese \(H_{0} \colon p \geq 0{,}05\) wird irrtümlich abgelehnt.

Im Falle der Nullhypothese \(H_{0} \colon p \geq 0{,}05\) genügt es, den „Extremfall" \(p_{0} = 0{,}05\) zu betrachten (vgl. Anmerkung).

Die Nullhypothese \(H_{0}\) wird irrtümlich abgelehnt, wenn die Zufallsgröße \(X\) Werte aus dem Ablehnungsbereich \(\overline{A} = \{0, 1, \dots, k\}\) der Nullhypothese annimmt und das betrachtete Ereignis „Der Verschluss enthält eine Gewinnmarke." mit der Wahrscheinlichkeit \(p_{0} = 0{,}05\) eintritt, das heißt, obwohl die Nullhypothese zutrifft.

 

Anmerkung: Bei einem Signifikanztest betrachtet man im Falle einer Nullhypothese \(H_{0} \colon p \leq p_{0}\) oder \(H_{0} \colon p \geq p_{0}\) den „Extremfall" \(p = p_{0}\), um den Annahme- und Ablehnungsbereich der Nullhypothese zu bestimmen. Damit ist gewährleistet, dass die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art auch für \(p < p_{0}\) bzw. \(p > p_{0}\) nicht das Signifikanzniveau \(\alpha\) überschreitet.

  

\[H_{0} \colon p \geq 0{,}05 \quad \Longrightarrow \quad p_{0} = 0{,}05\]

Die Zufallsgröße \(X\) ist nach \(B(200;0{,}05)\) binomialverteilt.

\[\overline{A} = \{0, 1, \dots, k\}\]

\[\alpha = 0{,}01\]

 

\[\begin{align*}P_{p_{0}}^{n}(\text{Fehler 1. Art}) &\leq \alpha \\[0.8em] P_{p_{0}}^{n}(X \in \overline{A}) &\leq \alpha & &| \; \overline{A} = \{0, 1, \dots, k\} \\[0.8em] P_{0{,}05}^{200}(X \leq k) &\leq 0{,}01 \\[0.8em] \sum \limits_{i\,=\,0}^{k}B(200;0{,}05;i) &\leq 0{,}01 \end{align*}\]

 

Stochastisches Tafelwerk (ST) verwenden:

Für den Parameter \(p = 0{,}05\) sucht man in der rechten Spalte (kumulative Verteilungsfunktion) der Tabelle \(n = 200\) denjenigen Wert \(\sum \limits_{i\,=\,0}^{k}B(200;0{,}05;i)\), der höchstens \(0{,}01\) beträgt und notiert den zugehörigen Wert \(k\).

 

\[\overset{\text{ST}}{\Longrightarrow} \quad k = 3 \quad \left( \sum \limits_{i\,=\,0}^{k}B(200;0{,}05;i) \overset{\text{ST}}{=} 0{,}00905 \right)\]

 

Entscheidungsregel formulieren:

Mit \(k = 3\) und \(k + 1 = 4\) kann der Annahme- und der Ablehnungsbereich der Nullhypothese \(H_{0}\) konkretisiert werden. Die Aufgabenstellung verlangt lediglich nach dem Ablehnungsbereich. Der Annahmebereich sei der Vollständigkeit halber mit aufgeführt.

 

\[\overline{A} = \{0, 1, 2, 3\} \qquad A = \{4, \dots, 200\}\]

 

Die Nullhypothese „Die Wahrscheinlichkeit dafür, in einer Flasche eine Gewinnmarke zu finden, beträgt mindestens 0,05." wird abgelehnt, wenn unter den 200 geöffneten Flaschen höchstens 3 Flaschen sind, deren Verschluss eine Gewinnmarke enthält.

 

Linksseitiger Signifikanztest der Nullhypothese H₀: p ≥ 0,05 zum Signifikanzniveau α = 1 % bei einem Stichprobenumfang von n = 200 (verkürzte Darstellung bis k = 25)
Linksseitiger Signifikanztest der Nullhypothese \(H_{0} \colon p \geq 0{,}05\) zum Signifikanzniveau \(\alpha = 1\,\%\) bei einem Stichptobenumfang von \(n = 200\) (verkürzte Darstellung bis \(k = 25\))

 

Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Getränkemarkt nicht in den Genuss einer kostenlosen Sonderwerbeaktion kommt, unter der Annahme, dass im Mittel nur 3 % der Saftschorle-Flaschen eine Gewinnmarke enthalten

 

Analyse der Angabe:

  

„Für den Fall, dass das Ergebnis des Tests im Ablehnungsbereich der Nullhypothese liegt, verspricht der Getränkehersteller, ... die Kosten für eine Sonderwerbeaktion ... zu übernehmen."

\(\Longrightarrow \quad\)Es muss \(X \in A = \{4, \dots, 200\}\) gelten, damit der Getränkemarkt nicht in den Genuss einer Sonderwerbeaktion kommt.

 

„... unter der Annahme, dass im Mittel nur 3 % der Saftschorle-Flaschen eine Gewinnmarke enthalten ..."

\(\Longrightarrow \quad\)Die Gegenhypothese \(H_{1} \colon p < 0{,}05\) trifft unter der Annahme \(p_{1} = 0{,}03\) zu.

 

Schlussfolgerung:

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit, ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Nullhypothese \(H_{0}\) irrtümlich angenommen wird bzw. die Gegenhypothese \(H_{1}\) irrtümlich abgelehnt wird, also die Wahrscheinlichkeit \(\beta'\) für den Fehler 2. Art.

\(n = 200\), \(p_{1} = 0{,}03\), \(A = \{4, \dots, 200\}\)

 

\[\begin{align*} \beta' = P(\text{Fehler 2. Art}) &= P_{p_{1}}^{n}(X \in A) \\[0.8em] &= P_{0{,}03}^{200}(X \geq 4)\end{align*}\]

 

Gegenereignis betrachten:

Um den Fehler 2. Art mithilfe des Stochastischen Tafelwerks (ST) ermitteln zu können, wird die Wahrscheinlichkeit \(P_{0{,}03}^{200}(X \geq 4)\) auf die kumulative Verteilungsfunktion zurückgeführt.

Dies erreicht man, indem man das Gegenereignis zum Ereignis „mindestens vier Gewinnmarken" betrachtet. Das Gegenereignis lautet: „Höchstens drei Gewinnmarken".

\[\begin{align*} \beta' = P(\text{Fehler 2. Art}) &= P_{p_{1}}^{n}(X \in A) \\[0.8em] &= P_{0{,}03}^{200}(X \geq 4) & &| \; \text{Gegenereignis betrachten} \\[0.8em] &= 1 - P_{0{,}03}^{200}(X \leq 3) \\[0.8em] &\overset{\text{ST}}{=} 1 - 0{,}14715 \\[0.8em] &= 0{,}85285 \\[0.8em] &\approx 85{,}3\,\% \end{align*}\]

 

Unter der Annahme, dass im Mittel nur 3 % der Saftschorle-Flaschen eine Gewinnmarke enthalten, kommt der Getränkemarkt mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. 85,3 % nicht in den Genuss einer kostenlosen Sonderwerbeaktion.

 

Anmerkung: Der Fehler 2. Art nimmt Bezug auf den Annahmebereich \(A\) der Nullhypothese. Dieser ist mit \(A = \{4, \dots, 200\}\) sehr groß, da der Ablehnungsbereich \(\overline{A} = \{0,1, 2, 3\}\) der Nullhypothese aufgrund des geringen Signifikanzniveaus \(\alpha = 0{,}01\) sehr klein gewählt ist. Infolgedessen ist die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art mit ca. 85,3 % sehr groß.

 

Wahrscheinlichkeit P(x ≥ 4) für den Fehler 2. Art unter der Annahme der Gegenhypothese p₁ = 0,03 und dem Annahmebereich A = {4, ..., 200} der Nullhypothese H₀: p ≥ 0,05 (verkürzte Darstellung bis k = 30)

 Wahrscheinlichkeit \(P_{0{,}03}^{200}(X \geq 4)\) für den Fehler 2. Art unter der Annahme der Gegenhypothese \(p_{1} = 0{,}03\) und dem Annahmebereich \(A = \{4, \dots, 200\}\) der Nullhypothese \(H_{0} \colon p \geq 0{,}05\) (verkürzte Darstellung bis k = 30)

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