Teilaufgabe 3b

Eine aus der Bevölkerung Deutschlands zufällig ausgewählte Person wird getestet; das Testergebnis ist positiv. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass diese Person tatsächlich an einer Tierhaarallergie leidet.

(2 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 3b

 

Bedingte Wahrscheinlichkeit

 

\(T\): „Das Testergebnis ist positiv."

\(\overline{T}\): „Das Testergebnis ist negativ."

\(A\): „Person leidet an einer Tierhaarallergie."

\(\overline{A}\): „Person leidet nicht an einer Tierhaarallergie."

 

Gesucht ist die bedingte Wahrscheinlichkeit \(P_{T}(A)\).

\[P_{T}(A) = \frac{P(A \cap T)}{P(T)}\]

 

Gemäß der Angabe zu Aufgabe 3 gilt:

 

\(P(T) = 0{,}395\), \(P_{A}(T) = 0{}85\)

 

Aus Teilaufgabe 3a ist bekannt:

 

\(P(A) = 0{,}09\)

 

Nach der 1. Pfadregel gilt:

\[P(A \cap T) = P(A) \cdot P_{A}(T)\]

 

Baudiagramm: Berechnung der Wahrscheinlichkeit P(A ∩ T) mithilfe der 1. Pfadregel

Veranschaulichung am Baumdiagramm: Berechnung der Wahrscheinlichkeit \(P(A \cap T)\) mithilfe der 1. Pfadregel

 

Berechnung der bedingten Wahrscheinlichkeit \(P_{T}(A)\):

\(P(T) = 0{,}395\), \(P_{A}(T) = 0{}85\), \(P(A) = 0{,}09\)

 

\[\begin{align*} P_{T}(A) &= \frac{P(A \cap T)}{P(T)} & &| \; \text{1. Pfadregel anwenden} \\[0.8em] &= \frac{P(A) \cdot P_{A}(T)}{P(T)} \\[0.8em] &= \frac{0{,}09 \cdot 0{,}85}{0{,}395} \\[0.8em] &\approx 0{,}194 \\[0.8em] &=19{,}4\,\% \end{align*}\]

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