Teilaufgabe 3c
Lösung zu Teilaufgabe 3c
Pfadregeln, Verknüpfung von Ereignissen
\[0{,}09 \cdot 0{,}15 + 0{,}91 \cdot 0{,}35\]
\(T\): „Das Testergebnis ist positiv."
\(\overline{T}\): „Das Testergebnis ist negativ."
\(A\): „Person leidet an einer Tierhaarallergie."
\(\overline{A}\): „Person leidet nicht an einer Tierhaarallergie."
Mithilfe der bekannten Wahrscheinlichkeiten \(P(A)\), \(P_{A}(T)\) und \(P_{\overline{A}}(T)\) (vgl. Teilaufgabe a) lässt sich ein vollständig beschriftetes Baumdiagramm anfertigen.
\(P(A) = 0{,}09\), \(P_{A}(T) = 0{,}85\), \(P_{\overline{A}}(T) = 0{,}35\)
Baumdiagramm mit den Eintragungen der Wahrscheinlichkeiten an allen Pfaden
Wahrscheinlichkeiten bzw. Ereignisse zuordnen:
Unter Anwendung der 1. Pfadregel können die Wahrscheinlichkeiten zugeordnet werden.
\[\begin{align*}0{,}09 \cdot 0{,}15 + 0{,}91 \cdot 0{,}35 &= P(A \cap \overline{T}) + P(\overline{A} \cap T) \\[0.8em] &= P\left[ (A \cap \overline{T}) \cup (\overline{A} \cap T) \right] \end{align*}\]
Der Term \(0{,}09 \cdot 0{,}15 + 0{,}91 \cdot 0{,}35\) beschreibt die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses \((A \cap \overline{T}) \cup (\overline{A} \cap T)\).
Bedeutung im Sachzusammenhang:
Die Aufgabenstellung zu Aufgabe 3 (vgl. Teilaufgabe 3a) beschreibt einen Hauttest (Allergietest).
Das Ereignis \((A \cap \overline{T}) \cup (\overline{A} \cap T)\) bedeutet:
„Eine zufällig ausgewählte Person aus der Bevölkerung Deutschlands
- leidet entweder an einer Tierhaarallergie und das Testergebnis ist negativ oder sie
- leidet nicht an einer Tierhaarallergie und das Testergebnis ist positiv."
Folglich beschreibt der Term \(0{,}09 \cdot 0{,}15 + 0{,}91 \cdot 0{,}35\) im Sachzusammenhang die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Allergietest ein falsches Ergebnis liefert.
