Teilaufgabe 3c

Aus der Bevölkerung Deutschlands wird eine Person zufällig ausgewählt und getestet. Beschreiben Sie das Ereignis, dessen Wahrscheinlichkeit im Sachzusammenhang mit dem Term \(0{,}09 \cdot 0{,}15 + 0{,}91 \cdot 0{,}35\) berechnet wird.

(2 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 3c

 

Pfadregeln, Verknüpfung von Ereignissen

 

\[0{,}09 \cdot 0{,}15 + 0{,}91 \cdot 0{,}35\]

 

\(T\): „Das Testergebnis ist positiv."

\(\overline{T}\): „Das Testergebnis ist negativ."

\(A\): „Person leidet an einer Tierhaarallergie."

\(\overline{A}\): „Person leidet nicht an einer Tierhaarallergie."

 

Mithilfe der bekannten Wahrscheinlichkeiten \(P(A)\), \(P_{A}(T)\) und \(P_{\overline{A}}(T)\) (vgl. Teilaufgabe a) lässt sich ein vollständig beschriftetes Baumdiagramm anfertigen.

 

\(P(A) = 0{,}09\), \(P_{A}(T) = 0{,}85\), \(P_{\overline{A}}(T) = 0{,}35\)

 

Baumdiagramm mit den Eintragungen der Wahrscheinlichkeiten an allen Pfaden

Baumdiagramm mit den Eintragungen der Wahrscheinlichkeiten an allen Pfaden

 

Wahrscheinlichkeiten bzw. Ereignisse zuordnen:

Unter Anwendung der 1. Pfadregel können die Wahrscheinlichkeiten zugeordnet werden.

\[\begin{align*}0{,}09 \cdot 0{,}15 + 0{,}91 \cdot 0{,}35 &= P(A \cap \overline{T}) + P(\overline{A} \cap T) \\[0.8em] &= P\left[ (A \cap \overline{T}) \cup (\overline{A} \cap T) \right] \end{align*}\]

 

Der Term \(0{,}09 \cdot 0{,}15 + 0{,}91 \cdot 0{,}35\) beschreibt die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses \((A \cap \overline{T}) \cup (\overline{A} \cap T)\).

 

Bedeutung im Sachzusammenhang:

Die Aufgabenstellung zu Aufgabe 3 (vgl. Teilaufgabe 3a) beschreibt einen Hauttest (Allergietest).

Das Ereignis \((A \cap \overline{T}) \cup (\overline{A} \cap T)\) bedeutet:

„Eine zufällig ausgewählte Person aus der Bevölkerung Deutschlands

  • leidet entweder an einer Tierhaarallergie und das Testergebnis ist negativ oder sie
  • leidet nicht an einer Tierhaarallergie und das Testergebnis ist positiv."

Folglich beschreibt der Term \(0{,}09 \cdot 0{,}15 + 0{,}91 \cdot 0{,}35\) im Sachzusammenhang die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Allergietest ein falsches Ergebnis liefert.

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