Teilaufgabe 3a

Geben Sie jeweils den Term einer Funktion an, die über ihrer maximalen Definitionsmenge die angegebenen Eigenschaften besitzt.

Der Graph der Funktion \(f\) ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse und die Gerade mit der Gleichung \(x = 2\) ist eine senkrechte Asymptote.

(2 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 3a

 

Asymptoten gebrochenrationaler Funktionen, Symmetrieverhalten

 

Anmerkung:

Der Funktionsterm der gesuchten Funktion \(f\) ist lediglich anzugeben. Jede Erklärung kann entfallen.

 

1. Möglichkeit: Gebrochenrationale Funktion

Beispielsweise erfüllen die Graphen folgender gebrochenrationaler Funktionsterme die angegebenen Eigenschaften:

 

\(f(x) = \dfrac{1}{(x - 2)(x + 2)}\quad\) bzw. \(\quad f(x) = \dfrac{1}{x^{2} - 4}\)

 

oder

 

\(f(x) = \dfrac{x^{2}}{(x - 2)(x + 2)} \quad\) bzw. \(\quad f(x) = \dfrac{x^{2}}{x^{2} - 4}\)

Erklärung:

Wegen der geforderten Achsensymmetrie bzgl. der \(y\)-Achse ist die Gerade mit der Gleichung \(x = -2\) ebenfalls senkrechte Asymptote des Graphen der gesuchten Funktion \(f\).

Eine gebrochenrationale Funktion besitzt an einer Polstelle eine senkrechte Asymptote. Eine Polstelle liegt bei einer gebrochenrationalen Funktion im wesentlichen immer dann vor, wenn eine Nennernullstelle nicht zugleich Zählernullstelle ist.

Folglich müssen \(x = -2\) und \(x = 2\) Nullstellen des Nenners der gebrochenrationalen Funktion sein. Damit ergibt sich der Nennerterm beispielsweise zu: \((x - 2)((x + 2))\). Mithilfe der 3. binomischen Formel lässt sich der Nennerterm auch in der Form \(x^{2} - 4\) formulieren.

Der Zählerterm ist nun so zu beschreiben, dass die Achsensymmetrie bzgl. der \(y\)-Achse erhalten bleibt. Dies ist dann der Fall, wenn für die gesuchte Funktion \(f\) gilt: \(f(-x) = f(x)\). Da der Nennerterm \((x - 2)(x + 2) = x^{2} - 4\) für \(-x\) das Vorzeichen nicht ändert, darf auch der Zählerterm das Vorzeichen nicht ändern. Der Zählerterm kann somit beispielsweise eine Konstante sein, aber auch \(x^{2}\) kommt in Frage.

 

Beispiele zweier zur y-Achse symmetrischer Graphen gebrochenrationaler Funktionen mit den senkrechten Asymptoten x = -2 und x = 2

Zur \(y\)-Achse symmetrische Graphen der gebrochnrationalen Funktionen \(x \mapsto \dfrac{1}{(x - 2)(x + 2)}\) und \(x \mapsto \dfrac{x^{2}}{(x - 2)(x + 2)}\) mit den senkrechten Asymptoten \(x = -2\) und \(x = 2\)

 

2. Möglichkeit: Zusammengesetzte Logarithmusfunktion

Eine senkrechte Asymptote kennt man auch vom Graphen der in \(\mathbb R^{+}\) definierten natürlichen Logarithmusfunktion \(x \mapsto \ln{x}\).

Graph der Natürlichen Logarithmusfunktion x ↦ ln x

Mit \(\lim \limits_{x \,\to\, 0} \ln{x} = -\infty\) besitzt der Graph der in \(\mathbb R^{+}\) definierten natürlichen Logarithmusfunktion \(x \mapsto \ln{x}\) die senkrechte Asymptote mit der Gleichung \(x = 0\) (\(y\)-Achse).

 

Der Ansatz für die gesuchte Funktion \(f\) könnte beispielsweise lauten:

 

\(f(x) = \ln{\vert g(x) \vert}\)

 

Der Betrag von \(g(x)\) stellt sicher, dass die Funktion \(f\) nur an den Nullstellen von \(g\) nicht definiert ist. Damit der Graph der Funktion \(f\) die senkrechte Asymptote mit der Gleichung \(x = 2\) hat, muss \(x = 2\) eine Nullstelle von \(g\) sein. Wegen der geforderten Achsensymmetrie bezüglich der \(y\)-Achse des Graphen der Funktion \(f\), muss auch \(x = -2\) eine Nullstelle von \(g\) sein.

 

\(\Longrightarrow \quad\)z.B.: \(g(x) = (x - 2)(x + 2) = x^{2} - 4\)

 

Somit erfüllt beispielsweise der Graph der folgenden zusammengesetzten Logrithmusfunktion \(f\) die angegebenen Eigenschaften:

 

\[f(x) = \ln{\left(\vert x^{2} - 4 \vert\right)}\]

 

Graph der zusammengesetzten natürlichen Logarithmusfunktion f(x) = ln(|x² - 4|)

Bezüglich der \(y\)-Achse symmetrischer Graph \(G_{f}\) der zusammengesetzten natürlichen Logarithmusfunktion \(f \colon x \mapsto \ln\left( \vert x^{2} - 4 \vert \right)\) und den senkrechten Asymptoten \(x = 2\) und \(x = -2\)

Weitere Lösungen dieser Aufgabengruppe: « Teilaufgabe 2b Teilaufgabe 3b »