Teilaufgabe 1a

Gegeben ist die Funktion \(f\) mit \(f(x) = \dfrac{(3 + x)^{2}}{x - 1}\) und maximalem Definitionsbereich \(D\). Der Graph von \(f\) wird mit \(G_{f}\) bezeichnet.

Geben Sie \(D\) und die Koordinaten der Schnittpunkte von \(G_{f}\) mit den Koordinatenachsen an.

(3 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 1a

 

Maximaler Definitionsbereich einer gebrochenrationalen Funktion, Schnittpunkte eines Funktionsgraphen mit den Koordinatenachsen

 

Anmerkung:

Der maximale Definitionsbereich \(D\) sowie die Schnittpunkte von \(G_{f}\) mit den Koordinatenachsen sind lediglich anzugeben. Jede Erklärung oder Rechnung kann entfallen.

 

\[f(x) = \frac{(3 + x)^{2}}{x - 1}\]

 

Maximaler Definitionsbereich \(D\) der Funktion \(f\)

Da die Division durch Null in der Mathematik nicht erlaubt ist, besitzt die gebrochenrationale Funktion \(f\) an der Nennernullstelle \(x = 1\) eine Definitionslücke.

 

\[\Longrightarrow \quad D = \mathbb R \backslash \{1\}\]

 

Schnittpunkte von \(G_{f}\) mit den Koordinatenachsen

 

Schnittpunkt(e) von \(G_{f}\) mit der \(x\)-Achse:

Für die Berechnung der Schnittstelle(n) des Graphen der Funktion \(f\) mit der \(x\)-Achse (Nullstelle) wird der Funktionsterm \(f(x)\) gleich Null gesetzt.

 

\[f(x) = \frac{(3 + x)^{2}}{x - 1}; \; D = \mathbb R \backslash \{1\}\]

 

\[\begin{align*}f(x) &= 0 \\[0.8em] \frac{(3 + x)^{2}}{x - 1} &= 0 \end{align*}\]

 

Ein Bruchterm ist gleich Null, wenn der Zählerterm gleich Null ist.

 

\[\begin{align*}\Longrightarrow \quad (3 + x)^{2} &= 0 & &| \; \sqrt{\quad} \\[0.8em] 3 + x &= 0 & &| - 3 \\[0.8em] x &= -3 \end{align*}\]

 

Der Graph \(G_{f}\) der Funktion \(f\) schneidet die \(x\)-Achse im Punkt \(N(-3|0)\).

 

Schnittpunkt von \(G_{f}\) mit der \(y\)-Achse:

Der Graph \(G_{f}\) der Funktion \(f\) schneidet die \(y\)-Achse im Punkt \(S_{y}(0|f(0))\). Es ist also der Funktionswert \(f(0)\) zu berechnen.

 

\[f(x) = \frac{(3 + x)^{2}}{x - 1}; \; D = \mathbb R \backslash \{1\}\]

 

\[f(0) = \frac{(3 + 0)^{2}}{0 - 1} = \frac{9}{-1} = -9\]

 

\[\Longrightarrow \quad S_{y}(0|-9)\]

Weitere Lösungen dieser Aufgabengruppe: Teilaufgabe 1b »