Teilaufgabe 1b

Zeigen Sie, dass \(f(x)\) zum Term \(x + 7 + \dfrac{16}{x - 1}\) äquivalent ist, und geben Sie die Bedeutung der Geraden \(g\) mit der Gleichung \(y = x + 7\) für \(G_{f}\) an.

(3 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 1b

 

Äquivalenzumformung eines Funktionsterms, Asymptoten gebrochenrationaler Funktionen

 

Anmerkung:

Die Bedeutung der Geraden \(g \colon y = x + 7\) für \(G_{f}\) ist lediglich anzugeben. Jede Erklärung kann entfallen.

 

\[f(x) = \frac{(3 + x)^{2}}{x - 1};\;D = \mathbb R \backslash \{1\}\]

 

Nachweis, dass \(f(x) = x + 7 + \dfrac{16}{x - 1}\) gilt

 

Es ist durch Äquivalenzumformung (Beispielsweise Addition, Subtraktion, Multiplikation oder Division) zu zeigen, dass \(f(x) = x + 7 + \dfrac{16}{x - 1}\) gilt.

Dies ist am einfachsten zu erreichen, indem man den Summanden \(x + 7\) des (gebrochenrationalen) Terms \(x + 7 + \dfrac{16}{x - 1}\) auf den gemeinsamen Nenner \(x - 1\) bringt (mit \((x - 1)\) erweitert), den entstehenden Zählerterm vereinfacht und anschließend auf den Zählerterm die 1. Binomische Formel anwendet.

 

\[\begin{align*} x + 7 + \frac{16}{x - 1} &= \frac{(x + 7) \cdot (x - 1)}{x - 1} + \frac{16}{x - 1} \\[0.8em] &= \frac{(x + 7)(x - 1) + 16}{x - 1} \\[0.8em] &= \frac{x^{2} - x + 7x - 7 + 16}{x - 1} \\[0.8em] &= \frac{\overbrace{x^{2} + 6x + 9}^{\large{a^{2}\,+\,2ab\,+\,b^{2}}}}{x - 1} & &| \; \text{1. Binomische Formel anwenden} \\[0.8em] &= \frac{\overbrace{(x + 3)^{2}}^{\large{(a\,+\,b)^{2}}}}{x - 1} \\[0.8em] &= \frac{(3 + x)^{2}}{x - 1} \\[0.8em] &= f(x) \end{align*}\]

 

Alternative: Polynomdivision

Ausgehend von \(f(x) = \dfrac{(3 + x)^{2}}{x - 1}\) kann die Äquivalenz zum Term \(x + 7 +\dfrac{16}{x - 1}\) mithilfe einer Polynomdivision nachgewiesen werden.

Hierfür wird der Zählerterm \((3 + x)^{2}\) zunächst ausmultipliziert bzw. mithilfe der 1. Binomischen Formel umgefomt und der quadratische Term ggf. absteigend nach Potenzen geordnet.

 

\[(3 + x)^{2} = 9 + 6x + x^{2} = x^{2} + 6x + 9\]

oder

\[(3 + x)^{2} = (x + 3)^{2} = x^{2} + 6x + 9\]

 

\[\Longrightarrow \quad f(x) = \frac{x^{2} + 6x + 9}{x - 1}\]

 

Polynomdivison durchführen:

Das Zählerpolynom zweiten Grades \(x^{2} + 6x + 9\) wird durch das Nennerpolynon ersten Grades \(x - 1\) dividiert.

 

\[\begin{align*}&(x^{2} + 6x + 9) : (x - 1) = x + 7 + \frac{16}{x - 1} \\ -&\underline{(x^{2} - x)} \\ &\hspace{33px} 7x + 9 \\ &\hspace{8px} -\underline{(7x - 7)} \\ &\hspace{62px} 16 \end{align*}\]

 

Bedeutung der Geraden \(g \colon y = x + 7\)

Die Bedeutung der Geraden \(g \colon y = x + 7\) für den Graphen \(G_{f}\) der ganzrationalen Funktion \(f\) lässt sich mithilfe der Grenzwertbetrachtung \(x \to \pm \infty\) erkennen.

 

\[\begin{align*}\lim \limits_{x\,\to\,\pm\,\infty} f(x) &= \lim \limits_{x\,\to\,\pm\,\infty} x + 7 + \underbrace{\frac{16}{x - 1}}_{\to\,0} \\[0.8em] &= \lim \limits_{x\,\to\,\pm\,\infty} x + 7 \\[0.8em] &= \pm \infty \end{align*}\]

Für \(x \to \pm \infty\) bestimmt der lineare Term \(x + 7\) das Verhalten von \(G_{f}\). Das bedeutet, dass sich \(G_{f}\) für \(x \to \pm \infty\) beliebig nahe der Geraden mit der Gleichung \(y = x + 7\) annähert und auf diese Weise gegen \(\pm \infty\) verläuft. Die Gerade \(g\) hat also die Bedeutung einer schrägen Asymptote für das Verhalten von \(G_{f}\) im Unendlichen.

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