Teilaufgabe 2b

Lösung zu Teilaufgabe 2b

Gleichung einer Tangente an den Graphen einer Funktion in einem Punkt, Steigungswinkel einer Geraden, rechtwinklig gleichschenkliges Dreieck

\[f(x) = 2 \cdot e^{\frac{1}{2}x} - 1; \; D_{f} = \mathbb R\]

\[S(0|1)\]

Planskizze:

Eine Planskizze hilft, die Aufgabenstellung zu veranschaulichen. Die Skizze lässt sich mithilfe der aus Teilaufgabe 2a bekannten Nullstelle \(x = -2\ln{2} \approx -1{,}39\), dem Punkt \(S\) und in Kenntnis des charakteristischen Verlaufs des Graphen einer Natürlichen Exponentialfunktion erstellen.

Planskizze: Graph der Funktion \(f\), Tangente \(T\) im Punkt \(S(0|1)\) und Dreieck, welches die Tangente \(T\) und die Koordinatenachsen begrenzen.

Die Tangente \(T\) schneidet die \(y\)-Achse im Punkt \(S(0|1)\) und die \(x\)-Achse im Punkt \(N(x_{0}|0)\).

Das Dreieck \(NOS\) ist rechtwinklig mit der Hypotenuse \([SN]\).

Das Dreieck \(NOS\) ist gleichschenklig,

• wenn die Katheten \([OS]\) und \([NO]\) gleich lang sind oder,
• wenn die Tangente \(T\) die \(x\)-Achse unter einem Winkel von \(\alpha = 45^{\circ}\) schneidet.

1. Lösungsansatz: Katheten gleicher Länge nachweisen

Gleichung der Tangente \(T\) an \(G_{f}\) im Punkt \(S(0|1)\) aufstellen:

Der Ansatz der Gleichung der Tangente \(T\) kann mithilfe der allgemeinen Geradengleichung oder der Tangentengleichung erfolgen.

1. Möglichkeit: Allgemeine Geradengleichung

\[T \colon y = m_{T} \cdot x + t\]

Der \(y\)-Achsenabschnitt \(t\) der Gleichung der Tangente \(T\) ist mit dem Punkt \(S(0|1) \in T\) bereits bekannt.

\[\Longrightarrow \quad T \colon y = m_{T} \cdot x + 1\]

Tangentensteigung \(m_{T}\) berechnen:

Die erste Ableitung \(f'\) an der Stelle \(x = 0\) beschreibt die Steigung \(m_{T}\) der Tangente \(T\) an den Graphen der Funktion \(f\) im Punkt \(S(0|1)\).

\[m_{T} = f'(0)\]

Erste Ableitung \(f'\) bilden:

Die erste Ableitung \(f'\) der Funktion \(f\) wird mithilfe der Ableitung der Natürlichen Exponentialfunktion, der Kettenregel sowie der Summen- und der Faktorregel formuliert.

\[f(x) = 2 \cdot e^{\frac{1}{2}x} - 1\]

\[\begin{align*} f'(x) &= 2 \cdot e^{\frac{1}{2}x} \cdot \frac{1}{2} - 0 \\[0.8em] &= e^{\frac{1}{2}x} \end{align*}\]

Tangentensteigung \(m_{T}\) berechnen:

\[m_{T} = f'(0) = e^{\frac{1}{2} \cdot 0} = e^{0} = 1\]

Damit ergibt sich die Gleichung der Tangente \(T\) zu:

\[T \colon y = x + 1\]

2. Möglichkeit: Tangentengleichung

\[T \colon y = f'(0) \cdot (x - 0) + f(0)\]

\[S(0|1) \quad \Longrightarrow \quad f(0) = 1\]

Mit \(f'(0) = 1\) (vgl. 1. Möglichkeit) folgt:

\[\begin{align*} T \colon y &= f'(0) \cdot (x - 0) + f(0) \\[0.8em] &= 1 \cdot x + 1 \\[0.8em] &= x + 1 \end{align*}\]

Nullstelle \(x_{0}\) der Tangente \(T\) berechnen:

\[T \colon y = x + 1\]

\[\begin{align*} 0 &= x + 1 & &| - 1 \\[0.8em] -1 &= x \end{align*}\]

Die Tangente \(T\) schneidet die \(x\)-Achse im Punkt \(N(-1|0)\).

Nachweis gleich langer Katheten \([OS]\) und \([NO]\) des Dreiecks \(NOS\):

\(O(0|0)\), \(S(0|1)\), \(N(-1|0)\)

\[\overline{OS} = y_{S} - y_{O} = 1 - 0 = 1\]

\[\overline{NO} = x_{O} - x_{N} = 0 - (-1) = 1\]

\[\Longrightarrow \quad \overline{OS} = \overline{NO}\]

Schlussfolgerung:

Das Dreieck, welches die Tangente an den Graphen der Funktion \(f\) im Punkt \(S\) und die Koordinatenachsen begrenzen, ist gleichschenklig.

2. Lösungsansatz: Steigungswinkel der Tangente bestimmen

In einem gleichschenklig rechtwinkligen Dreieck schließen die Schenkel (Katheten) mit der Basis (Hypotenuse) eiinen Winkel von \(45^{\circ}\) ein. Das Dreieck, das die Tangente \(T\) und die Koordinatenachsen einschließen, ist gleichschenklig, wenn die Tangente \(T\) die \(x\)-Achse unter einem Winkel von \(45^{\circ}\) schneidet.

Im Falle einer positiven Tangentensteigung entspricht der Steigungswinkel \(\alpha\) der Tangente dem Schnittwinkel der Tangente mit der \(x\)-Achse. 

\[m_{T} = \tan{\alpha}\]

\(m_{T} = 1\) (vgl. 1. Lösungsansatz)

\[\begin{align*}\tan{\alpha} &= 1 & &| \; \tan^{-1}(1) \\[2.4 em] \alpha &= 45^{\circ} \end{align*}\]

Die Tangente \(T\) schneidet die \(x\)-Achse und damit auch die \(y\)-Achse jeweils unter einem Winkel von \(45^{\circ}\).

Schlussfolgerung:

Das Dreieck, welches die Tangente an den Graphen der Funktion \(f\) im Punkt \(S\) und die Koordinatenachsen begrenzen, ist gleichschenklig.