Ermitteln Sie die Koordinaten des Vektors, der sowohl ein Normalenvektor von \(E\) als auch der Ortsvektor eines Punktes der Ebene \(E\) ist.
(3 BE)
Teilaufgabe 2b
Lösung zu Teilaufgabe 2b
Lotgerade zu einer Ebene, Lotfußpunkt, lineare Abhängigkeit zweier Vektoren, Punktprobe
1. Lösungsansatz: Lotgerade durch \(O(0|0|0)\) auf die Ebene \(E\)
Die Lotgerade \(\ell\) zur Ebene \(E\) durch den Koordinatenursprung \(O\) schneidet die Ebene \(E\) im Lotfußpunkt \(F\) des Lotes von \(O\) auf die Ebene \(E\). Der Ortsvektor \(\overrightarrow{F}\) ist zugleich ein Normalenvektor der Ebene \(E\).
Lotgerade \(\ell\) zur Ebene \(E\) durch \(O\) formulieren:
Planskizze: Lotgerade \(\ell\) zur Ebene \(E\) durch \(O\), Ortsvektor \(\overrightarrow{F}\) des Lotfußpunkts \(F\)
\(O(0|0|0) \in \ell\), \(\ell \perp E\)
\[\ell \colon \overrightarrow{X} = \overrightarrow{O} + \mu \cdot \overrightarrow{n}_{E}; \; \mu \in \mathbb R\]
Der Normalenvektor \(\overrightarrow{n}_{E}\) ergibt sich aus der Gleichung der Ebene \(E\) in Normalenform in Koordinatendarstellung.
\[E \colon 2x_{1} + x_{2} - 2x_{3} = -18 \quad \Longrightarrow \quad \overrightarrow{n}_{E} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}\]
\[\begin{align*}\Longrightarrow \quad \ell \colon \overrightarrow{X} &= \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + \mu \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} \\[0.8em] &= \mu \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}; \; \mu \in \mathbb R \end{align*}\]
Koordinaten des Lotfußpunkts \(F\) berechnen:
Der Lotfußpunkt \(F\) des Lotes des Koordinatenursprungs \(O\) auf die Ebene \(E\) ist der Schnittpunkt der Lotgeraden \(\ell\) und der Ebene \(E\). Für die Berechnung der Koordinaten von \(F\) setzt man die Koordinaten des Ortsvektors \(\overrightarrow{X}\) der Geradengleichung von \(\ell\) in die Gleichung der Ebene \(E\) ein und löst die Gleichung nach dem Parameter \(\mu\) auf.
Der Wert des Parameters \(\mu\) in die Gleichung der Lotgeraden \(\ell\) eingesetzt, ergibt den Ortsvektor des Lotfußpunkts \(F\).
\[\ell \colon \overrightarrow{X} = \mu \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2\mu \\ \mu \\ -2\mu \end{pmatrix}\]
\[E \colon 2x_{1} + x_{2} - 2x_{3} = -18\]
\[\begin{align*} \ell \cap E \colon 2 \cdot 2\mu + \mu - 2 \cdot (-2\mu) &= -18 \\[0.8em] 9\mu &= - 18 & &| : 9 \\[0.8em] \mu &= -2 \end{align*}\]
Parameterwert \(\mu = -2\) in die Gleichung der Lotgeraden \(\ell\) einsetzen:
\[F \in \ell \colon \overrightarrow{F} = (-2) \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix}\]
Der Ortsvektor \(\overrightarrow{F} = \begin{pmatrix} -4 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix}\) des Lotfußpunkts \(F\) des Lotes des Koordinatenursprungs \(O\) auf die Ebene \(E\) ist zugleich Normalenvektor der Ebene \(E\).
2. Lösungsansatz: Lineare Abhängigkeit zweier Vektoren, Punktprobe
Planskizze: Der Punkt \(P\) liegt in der Ebene E \((P \in E)\). Der Ortsvektor \(\overrightarrow{P}\) ist genau dann zugleich ein Normalenvektor der Ebene \(E\), wenn sich dieser als reelles Vielfaches \(r\) eines beliebigen Normalenvektors der Ebene \(E\) beschreiben lässt. Mit anderen Worten: Der Ortsvektor \(\overrightarrow{P}\) und ein Normalenvektor \(\overrightarrow{n}_{E}\) müssen linear abhängig sein.
\[\overrightarrow{P} = r \cdot \overrightarrow{n}_{E}; \; r \in \mathbb R\]
Ein Normalenvektor \(\overrightarrow{n}_{E}\) der Ebene \(E\) kann der gegebenen Ebenengleichung in Normalenform in Koordinatendarstellung (Koordinatenform) entnommen werden (vgl. Angabe Aufgabe 2).
\[E \colon 2x_{1} + x_{2} - 2x_{3} = -18 \quad \Longrightarrow \quad \overrightarrow{n}_{E} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}\]
Es muss also gelten:
\[\overrightarrow{P} = r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2r \\ r \\ -2r \end{pmatrix}; \; r \in \mathbb R \quad \Longrightarrow \quad P(2r|r|-2r)\]
Punktprobe \(P \in E\):
Da der Punkt \(P\) in der Ebene \(E\) liegen soll, muss der Punkt \(P\) die Gleichung der Ebene \(E\) erfüllen. Somit lässt sich der Wert des Parameters \(r\) mithilfe einer Punktprobe berechnen. Hierfür werden die Koordinaten des Punktes \(P\) in die Gleichung der Ebene \(E\) eingesetzt und die Gleichung nach dem Parameter \(r\) aufgelöst.
\[P(2r|r|-2r)\]
\[E \colon 2x_{1} + x_{2} - 2x_{3} = -18\]
\[\begin{align*}P \in E \colon 2 \cdot 2r + r - 2 \cdot (-2r) &= -18 \\[0.8em] 9r &= -18 & &| : 9 \\[0.8em] r &= -2 \end{align*}\]
Ortsvektor \(\overrightarrow{P}\) berechnen:
\[\overrightarrow{P} = r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} = (-2) \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix}\]
Der Ortsvektor \(\overrightarrow{P} = \begin{pmatrix} -4 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix}\) des Punktes \(P(-4|-2|4) \in E\) ist zugleich ein Normalenvektor der Ebene \(E\).
