Das Glücksrad wird viermal gedreht und die Abfolge der Farben als Ergebnis notiert. Bestimmen Sie die Anzahl der möglichen Ergebnisse, in denen die Farbe Blau nicht vorkommt.
(2 BE)
Lösung zu Teilaufgabe 1d
Kombinatorik, Ziehen mit Zurücklegen und mit Beachtung der Reihenfolge
1. Möglichkeit: Urnenmodell „Ziehen mit Zurücklegen und mit Beachtung der Reihenfolge" anwenden
Wenn die Farbe Blau nicht vorkommen darf, gibt es bei jeder der vier Drehungen des Glücksrads genau zwei mögliche Ergebnisse, nämlich Rot oder Gelb.
Grundformeln der Kombinatorik
Grundformeln der Kombinatorik
Viele mehrstufige Zufallsexperimente lassen sich mithilfe sogenannter Urnenmodelle veranschaulichen und simulieren. Aus einer Urne mit \(\boldsymbol{n}\) unterscheidbaren Kugeln wird \(\boldsymbol{k}\)-mal eine Kugel gezogen.
Je nach Modell werden die Kugeln mit oder ohne Zurücklegen gezogen und es wird außerdem darauf geachtet, ob die Reihenfolge der gezogenen Kugeln einen Rolle spielt.
Die nachfolgende Tabelle gibt für das jeweilige Urnenmodell den Term an, mit dem sich die Anzahl der möglichen Ergebnisse berechnen lässt.
| | Mit Beachtung der Reihenfolge | Ohne Beachtung der Reihenfolge |
| Mit Zurücklegen | \(n^{k}\) | - nicht abiturrelevant - |
| Ohne Zurücklegen | \(n \cdot (n - 1) \cdot ... \cdot (n - k + 1)\) Spezialfall: \(n!\) für \(k = n\) (Permutationen) | \(\displaystyle \binom{n}{k} = \frac{n!}{k! \cdot (n - k)!}\) (entspricht „Ziehen mit einem Griff", vgl. Binomialkoeffizient) |
Binomialkoeffizient
Der Binomialkoeffizient gibt an, wie viele Möglichkeiten es gibt, aus einer Menge mit \(n\) Elementen eine Teilmenge mit \(k\) Elementen zu bilden.
\[\binom{n}{k} = \frac{n!}{k! \cdot (n - k)!} = \frac{n \cdot (n - 1) \cdot ... \cdot (n - k + 1)}{k!}\]
(vgl. Merkhilfe)
\[\Longrightarrow \quad N = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^{4} = 16\]
2. Möglichkeit: Ergebnisse notieren und zählen
Diese Methode ist etwas zeitaufwändiger, aber in diesem Fall dennoch möglich.
Es sei \(E\) das Ereignis „Bei viermaligem Drehen des Glücksrads kommt die Farbe Blau nicht vor."
\(r\): Die Farbe Rot wird gedreht.
\(g\): Die Farbe Gelb wird gedreht.
\[\begin{align*} E = \{&(rrrr),\\[0.8em] &(rrrg), (rrgr), (rgrr), (grrr), \\[0.8em] &(rrgg), (ggrr), (rgrg), (grgr), (rggr), (grrg), \\[0.8em] &(rggg), (grgg), (ggrg), (gggr), \\[0.8em] &(gggg) \} \end{align*}\]
\[\Longrightarrow \quad \vert E \vert = 16\]
