Teilaufgabe 2

In der Abbildung ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsgröße \(X\) mit der Wertemenge \(\{0;1;2;3;4\}\) und dem Erwartungswert \(2\) dargestellt. Weisen Sie nach, dass es sich dabei nicht um eine Binomialverteilung handeln kann.

Abbildung Teilaufgabe 2 Stochastik 1 Mathematik Abitur Bayern 2017 A

(3 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 2

 

Wahrscheinlichkeitsverteilung einer binomialverteilten Zufallsgröße, Erwartungswert einer binomialverteilten Zufallsgröße

 

Unter der Annahme einer binomialverteilten Zufallsgröße \(X\) entnimmt man der Abbildung den Parameter \(n = 4\) (Länge der Bernoulli-Kette) und bestimmt mithilfe des bekannten Erwartungswerts \(E(X) = 2\) (vgl. Angabe) den Parameter \(p\) (Trefferwahrscheinlichkeit) der binomialverteilten Zufallsgröße.

Anschließend lassen sich die Wahrscheinlichkeiten \(P_{p}^{4}(X = k); \; k \in \{0;1;2;3;4\}\) der Binomialverteilung berechnen und mit den Werten der Abbildung vergleichen.

 

Für den Erwartungswert einer binomialverteilten Zufallsgröße \(X\) gilt:

\[E(X) = n \cdot p\]

 

Mit \(n = 4\) und \(E(X) = 2\) folgt:

 

\[\begin{align*}E(X) &= n \cdot p \\[0.8em] \Longleftrightarrow \enspace p &= \frac{E(X)}{n} \\[0.8em] &= \frac{2}{4} \\[0.8em] &= 0{,}5 \end{align*}\]

 

Alternative:

Die Abbildung zeigt eine zum Erwartungswert symmetrische Wahrscheinlichkeitsverteilung. Eine Binomialverteilung ist ausschließlich für \(p = 0{,}5\) zum Erwartungswert symmetrisch. Unter der Annahme, dass die Abbildung die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer binomialverteilten Zufallsgröße \(X\) zeigt, muss deshalb gelten:

 

\[p = 0{,}5\]

 

Wahrscheinlichkeiten \(P_{0{,}5}^{4}(X = k)\) bestimmen und vergleichen:

Die Wahrscheinlichkeiten \(P_{0{,}5}^{4}(X = k)\) können dem Stochastischen Tafelwerk (ST) entnommen werden.

Wegen der Symmetrie der abgebildeten Wahrscheinlichkeitsverteilung genügt es, die Wahrscheinlichkeiten \(P_{0{,}5}^{4}(X = k)\) für \(k \in \{0;1;2\}\) zu vergleichen.

\[P_{0{,}5}^{4}(X = 0) \,\overset{\text{ST}}{=}\, 0{,}06250\]

Abbildung: \(P(X = 0) = \frac{1}{16} = 0{,}0625\)

 

\[P_{0{,}5}^{4}(X = 1) \,\overset{\text{ST}}{=} \, 0{,}25000\]

Abbildung: \(P(X = 1) < 0{,}25\)

 

\[P_{0{,}5}^{4}(X = 2) \, \overset{\text{ST}}{=} \, 0{,}37500\]

Abbildung: \(P(X = 2) = \frac{7}{16} = 0{,}4375\)

 

Ergebnis:

Unter der Annahme einer binomialverteilten Zufallsgröße \(X\) unterscheiden sich die Werte der Wahrscheinlichkeiten \(P_{0{,}5}^{4}(X = 1)\) und \(P_{0{,}5}^{4}(X = 2)\) von den Werten der abgebildeten Wahrscheinlichkeiten \(P(X = 1)\) und \(P(X = 2)\) deutlich. Folglich zeigt die Abbildung keine Binomialverteilung.

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