Teilaufgabe 1a

Nebenstehende Vierfeldertafel gehört zu einem Zufallsexperiment mit den stochastisch unabhängigen Ereignissen \(A\) und \(B\). Tragen Sie alle fehlenden Wahrscheinlichkeiten ein.

Abbildung Teilaufgabe 1a Stochastik 2 Mathematik Abitur Bayern 2017 A

(3 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 1a

 

Vierfeldertafel, Stochastische Unabhängigkeit zweier Ereignisse

 

Die Summe der Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse bzw. Teilmengen, die den Ergebnisraum \(\Omega\) abbilden, ist gleich Eins.

 

\[P(A) + P(\overline{A}) = P(\Omega) = 1\]

bzw.

\[P(B) + P(\overline{B}) = P(\Omega) = 1\]

bzw.

\[P(A \cap B) + P(A \cap \overline{B}) + P(\overline{A} \cap B) + P(\overline{A} \cap \overline{B}) = P(\Omega) = 1\]

 

  \(A\) \(\overline{A}\)  
\(B\) \(0{,}12\)  \(\qquad\)  
\(\overline{B}\)      
  \(0{,}3\)   \(\boldsymbol{P(\Omega) = 1}\)

 

Die weitere Vorgehensweise kann in der Reihenfolge variieren.

 

Die Wahrscheinlichkeit der Schnittmenge \(A \cap B\) und des Ereignisses \(\overline{A}\) lässt sich spalten- bzw- zeilenweise durch Subtraktion ermitteln.

 

\[P(A \cap \overline{B}) = P(A) - P(A \cap B) = 0{,}3 - 0{,}12 = 0{,}18\]

\[P(\overline{A}) = P(\Omega) - P(A) = 1 - 0{,}3 = 0{,}7\]

 

  \(A\) \(\overline{A}\)  
\(B\) \(0{,}12\)    
\(\overline{B}\)  \(\boldsymbol{0{,}18}\)    
  \(0{,}3\)  \(\boldsymbol{0{,}7}\) \(1\)

 

Um die Vierfeldertafel vollständig ausfüllen zu können, wird die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses \(B\) oder \(\overline{B}\) benötigt.

Die Ereignisse \(A\) und \(B\) sind stochastisch unabhängig (vgl. Angabe).

Folglich gilt:

\[P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)\]

bzw.

\[P(A \cap \overline{B}) = P(A) \cdot P(\overline{B})\]

 

Anmerkung:

Im Falle zweier stochastisch unabhängiger Ereignisse \(A\) und \(B\) gilt:

\(P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)\) und

\(P(\overline{A} \cap B) = P(\overline{A}) \cdot P(B)\) und

\(P(A \cap \overline{B}) = P(A) \cdot P(\overline{B})\) und

\(P(\overline{A} \cap \overline{B}) = P(\overline{A}) \cdot P(\overline{B})\).

 

Damit lässt sich die Wahrscheinlichkeit \(P(B)\) oder \(P(\overline{B})\) berechnen:

 

\[\begin{align*} P(A \cap B) &= P(A) \cdot P(B) \\[0.8em] \Longleftrightarrow \enspace P(B) &= \frac{P(A \cap B)}{P(A)} \\[0.8em] &= \frac{0{,}12}{0{,}3} \\[0.8em] &= 0{,}4 \end{align*}\]

 

  \(A\) \(\overline{A}\)  
\(B\) \(0{,}12\)   \(\boldsymbol{0{,}4}\) 
\(\overline{B}\)  \(0{,}18\)    
  \(0{,}3\)  \(0{,}7\) \(1\)

 

oder

 

\[\begin{align*} P(A \cap \overline{B}) &= P(A) \cdot P(\overline{B}) \\[0.8em] \Longleftrightarrow \enspace P(\overline{B}) &= \frac{P(A \cap \overline{B})}{P(A)} \\[0.8em] &= \frac{0{,}18}{0{,}3} \\[0.8em] &= 0{,}6 \end{align*}\]

 

  \(A\) \(\overline{A}\)  
\(B\) \(0{,}12\)    
\(\overline{B}\)  \(0{,}18\)   \(\boldsymbol{0{,}6}\)
  \(0{,}3\)  \(0{,}7\) \(1\)

 

Abschließend kann die Vierfeldertafel spalten- bzw. zeilenweise durch Subtraktion vervollständigt werden, beispielsweise wie folgt:

 

\[P(\overline{B}) = P(\Omega) - P(B) = 1 - 0{,}4 = 0{,}6\]

\[P(\overline{A} \cap B) = P(B) - P(A \cap B) = 0{,}4 - 0{,}12 = 0{,}28\]

\[P(\overline{A} \cap \overline{B}) = P(\overline{B}) - P(A \cap \overline{B}) = 0{,}6 - 0{,}18 = 0{,}42\]

 

  \(A\) \(\overline{A}\)  
\(B\) \(0{,}12\) \(\boldsymbol{0{,}28}\)  \(0{,}4\) 
\(\overline{B}\)  \(0{,}18\) \(\boldsymbol{0{,}42}\)  \(\boldsymbol{0{,}6}\)
  \(0{,}3\)  \(0{,}7\) \(1\)

 

oder

 

\[P(B) = P(\Omega) - P(\overline{B}) = 1 - 0{,}6 = 0{,}4\]

\[P(\overline{A} \cap B) = P(B) - P(A \cap B) = 0{,}4 - 0{,}12 = 0{,}28\]

\[P(\overline{A} \cap \overline{B}) = P(\overline{B}) - P(A \cap \overline{B}) = 0{,}6 - 0{,}18 = 0{,}42\]

 

  \(A\) \(\overline{A}\)  
\(B\) \(0{,}12\) \(\boldsymbol{0{,}28}\)   \(\boldsymbol{0{,}4}\)
\(\overline{B}\)  \(0{,}18\) \(\boldsymbol{0{,}42}\)  \(0{,}6\)
  \(0{,}3\)  \(0{,}7\) \(1\)

 

Anmerkung:

Im Falle zweier stochastisch unabhängiger Ereignisse \(A\) und \(B\) ist die Vierfeldertafel der Wahrscheinlichkeiten eine Multiplikationstafel. Das bedeutet, dass die Einträge der inneren Zellen das Produkt der Einträge der zugehörigen Randzellen sind.

  \(A\) \(\overline{A}\)  
\(B\) \(P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)\) \(P(\overline{A} \cap B) = P(\overline{A}) \cdot P(B)\) \(P(B)\)
\(\overline{B}\) \(P(A \cap \overline{B}) = P(A) \cdot P(\overline{B})\) \(P(\overline{A} \cap \overline{B}) = P(\overline{A}) \cdot P(\overline{B})\) \(P(\overline{B})\)
  \(P(A)\) \(P(\overline{A})\) \(1\)

Vierfeldertafel der Wahrscheinlichkeiten zweier stochastisch unabhängiger Ereignisse \(A\) und \(B\)

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