Teilaufgabe 2b

Die drei Urnen mit den in der Abbildung dargestellten Inhalten bilden den Ausgangspunkt für folgendes Spiel:

Es wird zunächst ein Einsatz von 1 € eingezahlt. Anschließend wird eine der drei Urnen zufällig ausgewählt und danach aus dieser Urne eine Kugel zufällig gezogen. Nur dann, wenn diese Kugel schwarz ist, wird ein bestimmter Geldbetrag ausgezahlt.

Ermitteln Sie, wie groß dieser Geldbetrag sein muss, damit bei diesem Spiel auf lange Sicht Einsätze und Auszahlungen ausgeglichen sind.

(3 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 2b

 

Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsgröße, Erwartungswert einer Zufallsgröße

 

Damit bei dem Spiel auf lange Sicht Einsätze und Auszahlungen ausgeglichen sind, muss der im Mittel zu erwartende Auszahlungsbetrag pro Spiel gleich dem Betrag des pro Spiel eingezahlten Einsatzes sein. Oder es muss der im Mittel zu erwartende Gewinn pro Spiel gleich 0 € sein (faires Spiel).

 

1. Lösungsansatz: Erwartungswert des Auszahlungsbetrags

Es sei \(X\) die Zufallsgröße, die jedem Ergebnis des Zufallsexperiments einen Auszahlungsbetrag in Euro zuordnet.

Es sei \(a\) der unbekannten Geldbetrag, der ausgezahlt wird, wenn aus einer Urne zufällig eine schwarze Kugel gezogen wird.

 

Baumdiagramm des Zufallsexperiments:

 

Baumdiagramm des Zufallsexperiments (Spiel) mit Ergebnissen und zugeordneten Werten der Zufallsgröße X (Auszahlungsbetrag)

Baumdiagramm des Zufalsexperiments (Spiel) mit Ergebnissen und den zugeordneten Werten der Zufallsgröße \(X\) (Auszahlungsbetrag in Euro)

Die Wahrscheinlichkeit, zufällig eine der drei Urnen A, B oder C auszuwählen beträgt jeweils \(\frac{1}{3}\). Die Wahrscheinlichkeit, zufällig eine schwarze oder eine weiße Kugel aus der gewählten Urne zu ziehen, hängt von der Verteilung der Kugeln in dieser Urne ab (vgl. Abbildung Angabe).

 

Die Wahrscheinlichkeiten \(P(\omega)\) der Ergebnisse lassen sich mithilfe der 1. Pfadregel bestimmen:

\[P(\{A,S\}) = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{6}\]

\[P(\{A,\overline{S}\}) = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{6}\]

\[P(\{B,S\}) = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{9}\]

\[P(\{B,\overline{S}\}) = \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} = \frac{2}{9}\]

\[P(\{C,\overline{S}\}) = \frac{1}{3} \cdot 1 = \frac{1}{3}\]

 

Unter Anwendung der 2. Pfadregel ergibt sich folgende Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße \(X\):

\[\begin{align*}P(X = 0) &= P(\overline{S}) \\[0.8em] &= P(\{A,\overline{S}\}) + P(\{B,\overline{S}\}) + P(\{C,\overline{S}\}) \\[0.8em] &=  \frac{1}{6} + \frac{2}{9} + \frac{1}{3} \\[0.8em] &= \frac{3}{18} + \frac{4}{18} + \frac{6}{18} \\[0.8em] &= \frac{13}{18} \end{align*}\]

 

\[\begin{align*}P(X = a) &= P(S) \\[0.8em] &= P(\{A,S\}) + P(\{B,S\}) \\[0.8em] &= \frac{1}{6} + \frac{1}{9} \\[0.8em] &= \frac{3}{18} + \frac{2}{18} \\[0.8em] &= \frac{5}{18} \end{align*}\]

 

\(X = x_{i}\) \(0\) \(a\)
\(P(X = x_{i})\) \(\dfrac{13}{18}\) \(\dfrac{5}{18}\)

Verteilungstabelle der Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße \(X\)

 

Erwartungswert \(E(X)\) des Auszahlungsbetrags pro Spiel ermitteln:

\[\begin{align*}E(X) &= x_{1} \cdot P(X = x_{1}) + x_{2} \cdot P(X = x_{2}) \\[0.8em] &= 0 \cdot \frac{13}{18} + a \cdot \frac{5}{18} \\[0.8em] &= \frac{5}{18}a \end{align*}\]

 

Der im Mittel zu erwartende Auszahlungsbetrag pro Spiel muss gleich dem Betrag des pro Spiel eingezahlten Einsatzes sein.

Einsatz: 1 € (vgl. Angabe)

 

\[\begin{align*} E(X) &= 1 \\[0.8em] \frac{5}{18}a &= 1 & &| : \frac{5}{18} \\[0.8em] a &= \frac{18}{5} \\[0.8em] &= 3{,}6 \end{align*}\]

 

Damit bei dem Spiel auf lange Sicht Einsätze und Auszahlungen ausgeglichen sind, muss der Geldbetrag, der ausgezahlt wird, wenn aus einer Urne eine schwarze Kugel gezogen wird, 3,6 € betragen.

 

2. Lösungsansatz: Erwartungswert des Gewinns

Es sei \(G\) die Zufallsgröße, die jedem Ergebnis des Zufallsexperiments einen Gewinn in Euro zuordnet.

Es sei \(a\) der unbekannten Geldbetrag, der ausgezahlt wird, wenn aus einer Urne zufällig eine schwarze Kugel gezogen wird.

 

Baumdiagramm des Zufallsexperiments:

 

Baumdiagramm des Zufallsexperiments (Spiel) mit Ergebnissen und zugeordneten Werten der Zufallsgröße G (Gewinn)

Baumdiagramm des Zufalsexperiments (Spiel) mit Ergebnissen und den zugeordneten Werten der Zufallsgröße \(G\) (Gewinn in Euro)

Die Wahrscheinlichkeit, zufällig eine der drei Urnen A, B oder C auszuwählen beträgt jeweils \(\frac{1}{3}\). Die Wahrscheinlichkeit, zufällig eine schwarze oder eine weiße Kugel aus der gewählten Urne zu ziehen, hängt von der Verteilung der Kugeln in dieser Urne ab (vgl. Abbildung Angabe).

 

Die Wahrscheinlichkeiten \(P(\omega)\) der Ergebnisse lassen sich mithilfe der 1. Pfadregel bestimmen:

\[P(\{A,S\}) = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{6}\]

\[P(\{A,\overline{S}\}) = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{6}\]

\[P(\{B,S\}) = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{9}\]

\[P(\{B,\overline{S}\}) = \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} = \frac{2}{9}\]

\[P(\{C,\overline{S}\}) = \frac{1}{3} \cdot 1 = \frac{1}{3}\]

 

Unter Anwendung der 2. Pfadregel ergibt sich folgende Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße \(G\):

Unter Anwendung der 2. Pfadregel ergibt sich folgende Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße \(X\):

\[\begin{align*}P(G = -1) &= P(\overline{S}) \\[0.8em] &= P(\{A,\overline{S}\}) + P(\{B,\overline{S}\}) + P(\{C,\overline{S}\}) \\[0.8em] &=  \frac{1}{6} + \frac{2}{9} + \frac{1}{3} \\[0.8em] &= \frac{3}{18} + \frac{4}{18} + \frac{6}{18} \\[0.8em] &= \frac{13}{18} \end{align*}\]

 

\[\begin{align*}P(G = a - 1) &= P(S) \\[0.8em] &= P(\{A,S\}) + P(\{B,S\}) \\[0.8em] &= \frac{1}{6} + \frac{1}{9} \\[0.8em] &= \frac{3}{18} + \frac{2}{18} \\[0.8em] &= \frac{5}{18} \end{align*}\]

 

\(G = g_{i}\) \(-1\) \(a - 1\)
\(P(G = g_{i})\) \(\dfrac{13}{18}\) \(\dfrac{5}{18}\)

Verteilungstabelle der Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße \(G\)

 

Erwartungswert \(E(G)\) des Gewinns pro Spiel ermitteln:

\[\begin{align*}E(G) &= g_{1} \cdot P(G = g_{1}) + g_{2} \cdot P(G = g_{2}) \\[0.8em] &= (-1) \cdot \frac{13}{18} + (a - 1) \cdot \frac{5}{18} \\[0.8em] &= -\frac{13}{18} + \frac{5}{18}a - \frac{5}{18} \\[0.8em] &= \frac{5}{18}a - 1 \end{align*}\]

 

Der im Mittel zu erwartende Gewinn pro Spiel muss gleich 0 € sein.

 

\[\begin{align*} E(G) &= 0 \\[0.8em] \frac{5}{18}a - 1 &= 0 & &| + 1 \\[0.8em] \frac{5}{18}a &= 1 & &| : \frac{5}{18} \\[0.8em] a &= \frac{18}{5} \\[0.8em] &= 3{,}6 \end{align*}\]

 

Damit bei dem Spiel auf lange Sicht Einsätze und Auszahlungen ausgeglichen sind, muss der Geldbetrag, der ausgezahlt wird, wenn aus einer Urne eine schwarze Kugel gezogen wird, 3,6 € betragen.

Weitere Lösungen dieser Aufgabengruppe: « Teilaufgabe 2a