Teilaufgabe 1a

Gegeben ist die in \(\mathbb R^{+}\) definierte Funktion \(h \colon x \mapsto 3x \cdot (-1 + \ln x)\).

Abbildung 1 zeigt den Graphen \(G_{h}\) von \(h\) im Bereich \(0{,}75 \leq x \leq 4\).

Abbildung 1 Aufgabe 1 Analysis 1 Mathematik Abitur Bayern 2017 B

Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente an \(G_{h}\) im Punkt \((e|0)\) und berechnen Sie die Größe des Winkels, unter dem diese Tangente die \(x\)-Achse schneidet.

(zur Kontrolle: \(h'(x) = 3 \cdot \ln x\))

(4 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 1a

 

Gleichung einer Tangente an den Graphen einer Funktion, Steigungswinkel einer Geraden

 

\[h(x) = 3x \cdot (-1 + \ln{x}); \; D_{h} = \mathbb R^{+}\]

 

Gleichung der Tangente an \(G_{h}\) im Punkt \((e|0)\)

Der Ansatz für die Gleichung der Tangente \(T\) an den Graphen der Funktion \(h\) im Punkt \((e|0)\) kann mithilfe der allgemeinen Geradengleichung oder mit der Tangentengleichung erfolgen.

 

1. Lösungsansatz: Allgemeine Geradengleichung

\[T \colon y = m_{T} \cdot x + t\]

 

Die erste Ableitung \(h'\) an der Stelle \(x = e\) beschreibt die Steigung \(m_{T}\) der Tangente \(T\) an den Graphen der Funktion \(h\) im Punkt \((e|0)\).

\[m_{T} = h'(e)\]

 

Erste Ableitung \(h'\) bilden:

Die erste Ableitung \(h'\) lässt sich mithilfe der Produktregel, der Ableitung einer Potenzfunktion, der Ableitung der Natürlichen Logarithmusfunktion sowie der Summenregel formulieren.

 

\[h(x) = 3x \cdot (-1 + \ln{x})\]

\[\begin{align*} h'(x) &= 3 \cdot (-1 + \ln{x}) + 3x \cdot \left( 0 + \frac{1}{x} \right) \\[0.8em] &= -3 + 3\ln{x} + 3 \\[0.8em] &= 3\ln{x} \end{align*}\]

 

Tangentensteigung \(m_{T}\) berechnen:

 

\[\begin{align*} m_{T} &= h'(e) \\[0.8em] &= 3 \cdot \ln{e} & &| \; \ln{e} = 1; \; \text{allg.:}\; \log_{a}{a} = 1 \\[0.8em] &= 3 \cdot 1 \\[0.8em] &= 3 \end{align*}\]

 

Damit ergibt sich die Gleichung der Tangente \(T\) zu:

 

\[T \colon y = 3x + t\]

 

\(y\)-Achsenabschnitt \(t\) der Tangente \(T\) berechnen:

Die Tangente \(T\) berührt den Graphen der Funktion \(h\) im Punkt \((e|0) \in T\). Setz man die Koordinaten des Punktes \((e|0)\) in die Gleichung der Tangente \(T\) ein, lässt sich damit der \(y\)-Achsenabschnitt \(t\) berechnen.

 

\[\begin{align*} (e|0) \in T \colon 0 &= 3 \cdot e + t \\[0.8em] 0 &= 3e + t & &| - 3e \\[0.8em] -3e &= t \end{align*}\]

 

Gleichung der Tangente \(T\) angeben:

 

\[T \colon y = 3x - 3e\]

 

2. Lösungsansatz: Tangentengleichung

Mit dem Berührpunkt \((e|0)\) und \(h'(e) = 3\) (vgl. 1. Lösungsansatz) ergibt sich:

\[\begin{align*} T \colon y &= h'(e) \cdot (x - e) + h(e) \\[0.8em] &= 3 \cdot (x - e) + 0 \\[0.8em] &= 3x - 3e \end{align*}\]

 

Größe des Winkels, unter dem die Tangente die \(x\)-Achse schneidet

Die Steigung der Tangente \(T\) ist mit \(m_{T} = 3\) positiv. In diesem Fall stimmt der Steigungswinkel \(\alpha\) der Tangente \(T\) mit der Größe des Winkels überein, unter dem die Tangente die \(x\)-Achse schneidet.

Für den Steigungswinkel \(\alpha\) einer Geraden gilt:

\[\tan{\alpha} = m\]

 

Dann gilt für den Steigungswinkel \(\alpha\) der Tangente \(T\):

 

\[\tan{\alpha} = m_{T}\]

 

Steigungswinkel \(\alpha\) der Tangente \(T\) berechnen:

 

\[T \colon y = 3x - 3e\]

 

\[\begin{align*}\tan{\alpha} &= m_{T} \\[0.8em] &= 3 & &| \; \text{TR:} \; \tan^{-1}(3) \\[2.4em] \alpha &\approx 71{,}57^{\circ}\end{align*}\]

 

Die Tangente \(T\) schneidet die \(x\)-Achse unter einem Winkel von ca. 71,57°.

 

Tangente T an den Graphen der Funktion h im Punkt (e|0); Winkel α, unter dem die Tangente die x-Achse schneidet

Tangente \(T\) an den Graphen \(G_{h}\) der Funktion \(h \colon x \mapsto 3x \cdot (-1 + \ln{x})\) im Punkt \((e|0)\); Winkel \(\alpha\), unter dem die Tangente \(T\) die \(x\)-Achse schneidet

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